Exercício 4.24 Encontre todos os pontos críticos das seguintes funções (os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R} ):
f(x)=\frac{x^{2}}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos da função
f(x)=\frac{x^{2}}{x-2}
no maior domínio possível em \mathbb{R}. Lembre-se de que um ponto crítico é um ponto do domínio onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de f. A expressão \frac{x^{2}}{x-2} não está definida em x=2. Portanto
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{2\}.

Passo 3

Vamos calcular f'(x) usando a regra do quociente. Se
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \quad\text{com}\quad u(x)=x^{2},\;v(x)=x-2,
então
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{2x\,(x-2)-x^{2}\cdot1}{(x-2)^{2}}.

Passo 4

Simplificando o numerador:
2x\,(x-2)-x^{2} =2x^{2}-4x-x^{2} =x^{2}-4x =x\,(x-4).
Logo
f'(x)=\frac{x\,(x-4)}{(x-2)^{2}}.

Passo 5

Os pontos críticos vêm de
  1. f'(x)=0, isto é, do numerador x\,(x-4)=0, que dá
x=0 \quad\text{ou}\quad x=4.
  1. ou de f'(x) não existir, o que ocorre se (x-2)^{2}=0, ou seja x=2. Mas x=2 não faz parte do domínio, então não é considerado ponto crítico.

Resposta

Os pontos críticos de f são
x=0 \quad\text{e}\quad x=4.

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