Exercício 25. Calcule o fluxo do campo F(x, y, z)=(y, x, x) através da superfície parametrizada por S:[0,1] \times[0,1] \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, S(u, v)=(u+v, u-v, u v).
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo do campo F(x,y,z)=(y,x,x) através da superfície parametrizada por
\text{domínio da parametrização: }(u,v)\in[0,1]\times[0,1].
\text{parametrização: }S(u,v)=(u+v,\;u-v,\;uv).
A pergunta concreta: calcular o fluxo do campo F através da superfície S, ou seja, calcular a integral de superfície
\iint_{S} F\cdot n\,dS,
usando a parametrização dada (logo a orientação será a dada por S_u\times S_v).
Passo 2
A fórmula que vamos usar (e a que eu ensino passo a passo) é a expressão do fluxo de um campo vetorial por uma superfície parametrizada. Se a superfície é dada por S(u,v) com (u,v) em uma região D no plano, então o fluxo orientado é
Explicando cada parte: S_u é a derivada parcial de S em relação a u, S_v é a derivada parcial em relação a v. O vetor S_u\times S_v é um vetor normal à superfície (direção e sentido determinados pela ordem u,v), e a integral dupla sobre D avalia o produto escalar do campo, avaliado na superfície, com esse vetor normal, integrando sobre a região de parâmetros.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais S_u e S_v. Derivando componente a componente: