Exercício 25. Calcule o fluxo do campo F(x, y, z)=(y, x, x) através da superfície parametrizada por S:[0,1] \times[0,1] \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, S(u, v)=(u+v, u-v, u v).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo do campo F(x,y,z)=(y,x,x) através da superfície parametrizada por
S:[0,1]\times[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}^3,\qquad S(u,v)=(u+v,\;u-v,\;uv).
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{domínio da parametrização: }(u,v)\in[0,1]\times[0,1].íçã
\text{parametrização: }S(u,v)=(u+v,\;u-v,\;uv).çã
A pergunta concreta: calcular o fluxo do campo F através da superfície S, ou seja, calcular a integral de superfície
\iint_{S} F\cdot n\,dS,
usando a parametrização dada (logo a orientação será a dada por S_u\times S_v).

Passo 2

A fórmula que vamos usar (e a que eu ensino passo a passo) é a expressão do fluxo de um campo vetorial por uma superfície parametrizada. Se a superfície é dada por S(u,v) com (u,v) em uma região D no plano, então o fluxo orientado é
\iint_{S} F\cdot n\,dS=\iint_{D} F\big(S(u,v)\big)\cdot\big(S_u(u,v)\times S_v(u,v)\big)\,du\,dv.
Explicando cada parte: S_u é a derivada parcial de S em relação a u, S_v é a derivada parcial em relação a v. O vetor S_u\times S_v é um vetor normal à superfície (direção e sentido determinados pela ordem u,v), e a integral dupla sobre D avalia o produto escalar do campo, avaliado na superfície, com esse vetor normal, integrando sobre a região de parâmetros.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais S_u e S_v. Derivando componente a componente:
S(u,v)=(u+v,\;u-v,\;uv).
S_u(u,v)=\left(\frac{\partial}{\partial u}(u+v),\;\frac{\partial}{\partial u}(u-v),\;\frac{\partial}{\partial u}(uv)\right)=(1,\;1,\;v).
S_v(u,v)=\left(\frac{\partial}{\partial v}(u+v),\;\frac{\partial}{\partial v}(u-v),\;\frac{\partial}{\partial v}(uv)\right)=(1,\;-1,\;u).
Aqui cada componente é só derivada simples: por exemplo \partial(uv)/\partial u = v e \partial(u-v)/\partial v = -1.

Passo 4

Agora calculamos o produto vetorial S_u\times S_v. Usamos a regra do determinante (expansão na primeira linha):
S_u\times S_v= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & v \\\\ 1 & -1 & u \end{vmatrix}.
Desenvolvendo:
S_u\times S_v=\mathbf{i}(1\cdot u - v\cdot(-1))-\mathbf{j}(1\cdot u - v\cdot 1)+\mathbf{k}(1\cdot(-1)-1\cdot 1).
Simplificando cada componente:
\mathbf{i}:\;1\cdot u - v\cdot(-1)=u+v,
\mathbf{j}:\;-(1\cdot u - v\cdot 1)=-(u-v)=-u+v,
\mathbf{k}:\;1\cdot(-1)-1\cdot 1=-1-1=-2.
Logo
S_u\times S_v=(u+v,\;-u+v,\;-2).

Passo 5

Avaliamo o campo F na superfície, ou seja F\big(S(u,v)\big). Lembre que F(x,y,z)=(y,x,x). Substituindo x=u+v e y=u-v vindos da parametrização:
F\big(S(u,v)\big)=\big(y,\;x,\;x\big)\Big|_{(x,y)=(u+v,u-v)}=(u-v,\;u+v,\;u+v).

Passo 6

Agora fazemos o produto escalar entre F\big(S(u,v)\big) e S_u\times S_v:
F\big(S(u,v)\big)\cdot\big(S_u\times S_v\big)=(u-v)(u+v)+(u+v)(-u+v)+(u+v)(-2).
Calculamos termo a termo. Primeiro termo:
(u-v)(u+v)=u^2-v^2.
Segundo termo:
(u+v)(-u+v)=-(u+v)(u-v)=-(u^2-v^2)=-u^2+v^2.
Somando os dois primeiros termos eles se cancelam:
(u^2-v^2)+(-u^2+v^2)=0.
Resta apenas o terceiro termo:
(u+v)(-2)=-2(u+v).
Portanto o integrando simplifica para
F\big(S(u,v)\big)\cdot\big(S_u\times S_v\big)=-2(u+v).

Passo 7

Montamos a integral dupla sobre o domínio D=[0,1]\times[0,1]:
\iint_{S}F\cdot n\,dS=\iint_{D}-2(u+v)\,du\,dv=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}-2(u+v)\,du\,dv.
Calculemos passo a passo. Primeiro integrar em u:
\int_{0}^{1}-2(u+v)\,du=-2\left(\int_{0}^{1}u\,du+\int_{0}^{1}v\,du\right)=-2\left(\frac{1}{2}+v\cdot 1\right)=-2\left(\frac{1}{2}+v\right)=-1-2v.
Agora integrar em v:
\int_{0}^{1}(-1-2v)\,dv=\left[-v-v^2\right]_{0}^{1}=-1-1=-2.

Resposta

-2

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