Exercício 25. Calcule vec{u} \times \vec{v} e vec{v} \times \vec{u} nos seguintes casos:
vec{u}=(300,800,700) e vec{v}=(600,1600,1400).

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
\vec u = (300,800,700),\quad \vec v = (600,1600,1400),
e pede para calcular \vec u \times \vec v e \vec v \times \vec u.
O conteúdo envolvido é o produto vetorial, cuja definição em coordenadas usa um determinante e cuja propriedade fundamental é a anticomutatividade
\vec v \times \vec u = -\,(\vec u \times \vec v).

Passo 2

Antes de fazer contas, note que \vec v = 2\,\vec u. Como um vetor é múltiplo escalar do outro, eles são colineares.
Uma consequência direta é que o produto vetorial de vetores colineares é o vetor nulo:
\vec u \times \vec v = \vec 0.

Passo 3

Para confirmar, aplicamos a fórmula do determinante:
\vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 300 & 800 & 700\\\\ 600 &1600 &1400 \end{vmatrix} = \bigl(800\cdot1400 - 700\cdot1600\bigr)\mathbf{i} - \bigl(300\cdot1400 - 700\cdot600\bigr)\mathbf{j} + \bigl(300\cdot1600 - 800\cdot600\bigr)\mathbf{k}.
Calculando cada termo:
800\cdot1400 - 700\cdot1600 = 1\,120\,000 - 1\,120\,000 = 0,
300\cdot1400 - 700\cdot600 = 420\,000 - 420\,000 = 0,
300\cdot1600 - 800\cdot600 = 480\,000 - 480\,000 = 0.
Logo
\vec u \times \vec v = (0,0,0).

Passo 4

Pela anticomutatividade do produto vetorial,
\vec v \times \vec u = -\,(\vec u \times \vec v) = -\,(0,0,0) = (0,0,0).

Resposta

\vec u \times \vec v = (0,0,0)
\vec v \times \vec u = (0,0,0)

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