Exercício 4.27 Abaixo seguem derivadas f^{\prime} de funções f. Identifique os intervalos nos quais f possui gráfico com concavidade para cima e concavidade para para baixo. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
f^{\prime}(x)=x^{2}(2-x)

Passo 1

O enunciado dá a derivada de uma função f como
f'(x)=x^{2}(2-x)
e pede para identificar os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima (onde f''(x)>0) e côncavo para baixo (onde f''(x)<0). Vamos usar o teste da segunda derivada para isso.

Passo 2

Calcular f''(x) derivando f'(x). Como
f'(x)=x^{2}(2-x),
aplicamos a regra do produto e a derivada de 2-x:
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)\,(2-x)+x^{2}\,\frac{d}{dx}(2-x) =2x\,(2-x)+x^{2}(-1).
Simplificando,
f''(x)=4x-2x^{2}-x^{2}=4x-3x^{2}=x\,(4-3x).

Passo 3

Para achar onde f''(x) muda de sinal, resolvemos
f''(x)=x\,(4-3x)=0
cuja solução é x=0 ou x=\tfrac{4}{3}. Agora o sinal de f''(x) em cada intervalo:
  • Em (-\infty,0): x<0 e 4-3x>0 então f''(x)<0 (côncavo para baixo).
  • Em \bigl(0,\tfrac{4}{3}\bigr): x>0 e 4-3x>0 então f''(x)>0 (côncavo para cima).
  • Em \bigl(\tfrac{4}{3},\infty\bigr): x>0 e 4-3x<0 então f''(x)<0 (côncavo para baixo).

Resposta

A função f é
côncava para cima em \bigl(0,\tfrac{4}{3}\bigr),
côncava para baixo em (-\infty,0) e em \bigl(\tfrac{4}{3},\infty\bigr).

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