Exercício 4.27 Abaixo seguem derivadas
de funções
. Identifique os intervalos nos quais
possui gráfico com concavidade para cima e concavidade para para baixo. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
.
Passo 1
O enunciado dá a derivada de uma função
como
e pede para identificar os intervalos em que o gráfico de
é côncavo para cima (onde
) e côncavo para baixo (onde
). Vamos usar o teste da segunda derivada para isso.
Passo 2
Calcular
derivando
. Como
aplicamos a regra do produto e a derivada de
:
Simplificando,
Passo 3
Para achar onde
muda de sinal, resolvemos
cuja solução é
ou
. Agora o sinal de
em cada intervalo:
- Em
: e então (côncavo para baixo). - Em
: e então (côncavo para cima). - Em
: e então (côncavo para baixo).
Resposta
A função
é
côncava para cima em ,
côncava para baixo em e em
.
côncava para cima em
côncava para baixo em