Exercício 4.27 Abaixo seguem derivadas f^{\prime} de funções f. Identifique os intervalos nos quais f possui gráfico com concavidade para cima e concavidade para para baixo. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\left(8 \mathrm{x}-5 \mathrm{x}^{2}\right)(4-\mathrm{x})^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a derivada
f'(x) = \bigl(8x - 5x^2\bigr)\,(4 - x)^2
e pede os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima (onde f''(x)>0) e côncavo para baixo (onde f''(x)<0).
Para isso, vamos calcular f''(x), fatorá-lo, encontrar suas raízes e analisar o sinal em cada intervalo.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto a
u(x) = 8x - 5x^2, \qquad v(x) = (4 - x)^2.
Então
u'(x) = 8 - 10x, \qquad v'(x) = 2(4 - x)\cdot(-1) = -2(4 - x).
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f''(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = (8 - 10x)(4 - x)^2 \;+\;(8x - 5x^2)\bigl[-2(4 - x)\bigr].

Passo 3

Fatoramos f''(x). Colocando (4 - x) em evidência:
f''(x) = (4 - x)\Bigl[(8 - 10x)(4 - x) - 2(8x - 5x^2)\Bigr].
Dentro dos colchetes temos
(8 - 10x)(4 - x) = 32 - 48x + 10x^2, \quad 2(8x - 5x^2) = 16x - 10x^2,
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(8 - 10x)(4 - x) - 2(8x - 5x^2) = 32 - 48x + 10x^2 - (16x - 10x^2) = 32 - 64x + 20x^2.
Fatorando 4 nesse polinômio de segundo grau:
32 - 64x + 20x^2 = 4\bigl(8 - 16x + 5x^2\bigr) = 4\bigl(5x^2 - 16x + 8\bigr).
Portanto
f''(x) = 4\,(4 - x)\,\bigl(5x^2 - 16x + 8\bigr).
As raízes de f''(x) são
4 - x = 0 \implies x = 4,
e as raízes de 5x^2 - 16x + 8=0 obtêm-se por fórmula de Bhaskara:
x = \frac{16\pm\sqrt{(-16)^2 - 4\cdot5\cdot8}}{2\cdot5} = \frac{16\pm\sqrt{256 - 160}}{10} = \frac{16\pm 4\sqrt{6}}{10} = \frac{8\pm2\sqrt{6}}{5}.
Denotemos
r_1 = \frac{8 - 2\sqrt{6}}{5}\approx0{,}62, \qquad r_2 = \frac{8 + 2\sqrt{6}}{5}\approx2{,}58.

Passo 4

Para estudar o sinal de f''(x)=4\,(4 - x)\,(5x^2 - 16x + 8) note que o fator 4 é sempre positivo. O fator (4 - x) é positivo se x<4 e negativo se x>4. O trinômio 5x^2 -16x +8 tem coeficiente principal positivo e raízes r_1<r_2, então ele é positivo fora do intervalo (r_1,r_2) e negativo dentro. Resumindo o sinal de f'':
Para x<r_1 : (4 - x)>0, trinômio >0 f''>0.
Para r_1<x<r_2 : (4 - x)>0, trinômio <0 f''<0.
Para r_2<x<4 : (4 - x)>0, trinômio >0 f''>0.
Para x>4 : (4 - x)<0, trinômio >0 f''<0.

Passo 5

Concavidade para cima ocorre onde f''(x)>0; concavidade para baixo onde f''(x)<0.

Resposta

A função f é
côncava para cima em
\bigl(-\infty,\tfrac{8 - 2\sqrt{6}}{5}\bigr) \;\cup\; \bigl(\tfrac{8 + 2\sqrt{6}}{5},4\bigr),
e côncava para baixo em
\bigl(\tfrac{8 - 2\sqrt{6}}{5},\,\tfrac{8 + 2\sqrt{6}}{5}\bigr) \;\cup\; (4,\infty).

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