Exercício 27. Considere o campo
e
a porção do paraboloide
acima do plano
. Calcule o fluxo do rotacional de
através de
, com normal apontando para cima.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do rotacional de
através da superfície
com normal apontando para cima. Dados fornecidos:
O que precisamos calcular é o integral de superfície
onde
é o vetor normal unitário apontando para cima. A curva limite (contorno) da superfície
é a interseção do paraboloide com o plano
. Essa interseção satisfaz
, ou seja, a circunferência de raio
no plano
.
Passo 2
Em vez de calcular
e integrar diretamente sobre
, usamos o Teorema de Stokes, que diz:
ou seja, o fluxo do rotacional por
é igual à integral de linha de
ao longo da curva
orientada segundo a regra da mão direita. Como a normal escolhida está apontando para cima, a orientação positiva do contorno
é a orientação anti-horária quando olhamos de cima (sentido anti-horário no plano
).
Passo 3
Parametrizamos a curva de contorno
(a circunferência de raio
em
) de forma compatível com a orientação anti-horária vista de cima:
O diferencial é
Passo 4
Agora avaliamos
sobre a curva. Como na curva
, temos
. Portanto sobre
:
Substituindo
da parametrização:
O produto escalar
fica
Passo 5
Aplicamos o Teorema de Stokes: o fluxo pedido é a integral ao longo da curva:
Para calcular essa integral usamos a identidade de redução
Então
Como
vale
nos limites
e
, resta