Exercício 27. Considere o campo F(x, y, z)=(y(\operatorname{sen}(z)-1), 0,0) e S a porção do paraboloide z=1-x^{2}-y^{2} acima do plano z=0. Calcule o fluxo do rotacional de F através de S, com normal apontando para cima.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do rotacional de F através da superfície S com normal apontando para cima. Dados fornecidos:
F(x,y,z)=\bigl(y(\sin z-1),\,0,\,0\bigr)
S:\;z=1-x^{2}-y^{2}\quad\text{somente a porção com }z\ge0çã
O que precisamos calcular é o integral de superfície
\iint_{S} (\nabla\times F)\cdot \mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{n} é o vetor normal unitário apontando para cima. A curva limite (contorno) da superfície S é a interseção do paraboloide com o plano z=0. Essa interseção satisfaz 1-x^{2}-y^{2}=0, ou seja, a circunferência de raio 1 no plano z=0.

Passo 2

Em vez de calcular \nabla\times F e integrar diretamente sobre S, usamos o Teorema de Stokes, que diz:
\iint_{S} (\nabla\times F)\cdot \mathbf{n}\,dS = \oint_{\partial S} F\cdot d\mathbf{r},
ou seja, o fluxo do rotacional por S é igual à integral de linha de F ao longo da curva \partial S orientada segundo a regra da mão direita. Como a normal escolhida está apontando para cima, a orientação positiva do contorno \partial S é a orientação anti-horária quando olhamos de cima (sentido anti-horário no plano z=0).

Passo 3

Parametrizamos a curva de contorno \partial S (a circunferência de raio 1 em z=0) de forma compatível com a orientação anti-horária vista de cima:
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\;\sin t,\;0),\qquad 0\le t\le 2\pi.
O diferencial é
d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt = (-\sin t,\;\cos t,\;0)\,dt.

Passo 4

Agora avaliamos F sobre a curva. Como na curva z=0, temos \sin z=\sin 0=0. Portanto sobre \partial S:
F(x,y,0)=\bigl(y(\sin 0-1),\,0,\,0\bigr)=(-y,\,0,\,0).
Substituindo y=\sin t da parametrização:
F(\mathbf{r}(t)) = (-\sin t,\,0,\,0).
O produto escalar F(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) fica
F(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) = (-\sin t)\cdot(-\sin t) + 0 = \sin^{2}t.

Passo 5

Aplicamos o Teorema de Stokes: o fluxo pedido é a integral ao longo da curva:
\oint_{\partial S} F\cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{2\pi} \sin^{2}t\,dt.
Para calcular essa integral usamos a identidade de redução
\sin^{2}t = \frac{1-\cos(2t)}{2}.
Então
\int_{0}^{2\pi} \sin^{2}t\,dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \bigl(1-\cos(2t)\bigr)\,dt = \frac{1}{2}\Bigl[t-\tfrac{1}{2}\sin(2t)\Bigr]_{0}^{2\pi}.
Como \sin(2t) vale 0 nos limites 0 e 2\pi, resta
\frac{1}{2}\bigl(2\pi-0\bigr)=\pi.

Resposta

\pi

Exercícios relacionados