Exercício 28 - Identifique e descreva a superfície do \mathbb{R}^{3} dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
x^{2}-y^{2}-z^{2}=4.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de segunda ordem em \mathbb{R}^3 definida por
x^{2}-y^{2}-z^{2}=4.
O conteúdo aqui é classificação de superfícies quádricas usando formas canônicas e o estudo dos sinais dos coeficientes para identificar o tipo de quádricas.

Passo 2

Para passar à forma canônica, dividimos ambos os lados por 4:
\frac{x^{2}}{4}\;-\;\frac{y^{2}}{4}\;-\;\frac{z^{2}}{4}\;=\;1.

Passo 3

Agora observamos os sinais na forma
\frac{x^{2}}{2^{2}} \;-\;\frac{y^{2}}{2^{2}} \;-\;\frac{z^{2}}{2^{2}} \;=\;1.
Há um termo positivo (em x^2) e dois termos negativos (em y^2 e em z^2). Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas, com eixo de simetria no eixo x.

Passo 4

Para entender a geometria:
  • Em planos x=x_0, com \lvert x_0\rvert>2, a interseção é uma elipse
\frac{y^{2}}{x_{0}^{2}-4} + \frac{z^{2}}{x_{0}^{2}-4}=1.
  • Nos planos y=0 (ou z=0) a curva é uma hipérbole no plano xz (ou xy).
  • As folhas nascem em x=\pm2 (vértices (\pm2,0,0)) e se estendem em \pm x\to\infty.

Passo 5

Esboço qualitativo: imagine duas “tigelas” apontando uma para +e outra para - do eixo x, simétricas em relação à origem. Em grande \lvert x\rvert, a superfície se aproxima do cone
x^{2}-y^{2}-z^{2}=0.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, centrado na origem, de eixo no eixo x, com vértices em (2,0,0) e (-2,0,0).

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