Exercício 28 - Identifique e descreva a superfície do
dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície de segunda ordem em
definida por
O conteúdo aqui é classificação de superfícies quádricas usando formas canônicas e o estudo dos sinais dos coeficientes para identificar o tipo de quádricas.
Passo 2
Para passar à forma canônica, dividimos ambos os lados por
:
Passo 3
Agora observamos os sinais na forma
Há um termo positivo (em
) e dois termos negativos (em
e em
). Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas, com eixo de simetria no eixo
.
Passo 4
Para entender a geometria:
- Em planos
, com , a interseção é uma elipse
- Nos planos
(ou ) a curva é uma hipérbole no plano (ou ). - As folhas nascem em
(vértices ) e se estendem em .
Passo 5
Esboço qualitativo: imagine duas “tigelas” apontando uma para
e outra para
do eixo
, simétricas em relação à origem. Em grande
, a superfície se aproxima do cone
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, centrado na origem, de eixo no eixo
, com vértices em
e
.