Exercício 28. Reduza a matriz seguinte à forma escalonada
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\\\ 2 & 4 & 9 \\\\ 1 & 5 & 12 \end{array}\right)

Passo 1

Temos a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\\\ 2 & 4 & 9 \\\\ 1 & 5 & 12 \end{pmatrix}
e queremos reduzi-la à forma escalonada usando eliminação de Gauss, ou seja, escolher pivôs e zerar as entradas abaixo deles.

Passo 2

O pivô inicial está em a_{11}=1. Vamos zerar abaixo dele nas linhas 2 e 3:
- Subtraímos 2 vezes a linha 1 da linha 2.
- Subtraímos 1 vez a linha 1 da linha 3.
Isso gera
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 2 & 5 \\\\ 0 & 4 & 10 \end{pmatrix}.

Passo 3

O próximo pivô está em a_{22}=2. Para zerar a entrada em a_{32}=4, subtraímos 2 vezes a linha 2 da linha 3, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 2 & 5 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Agora todas as entradas abaixo dos pivôs são zero.

Passo 4

Para deixar o pivô da segunda linha igual a 1 (opcional, mas comum em forma escalonada), dividimos a linha 2 por 2:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & \tfrac{5}{2} \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

A forma escalonada da matriz dada é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & \tfrac{5}{2} \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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