Exercício 29. Sabendo que \|\vec{u}\|=3 \sqrt{2} e \|\vec{v}\|=2 \sqrt{3} e \varangle(\vec{u}, \vec{v})=\frac{\pi}{6}, calcule:
  1. a área do triângulo determinado por \vec{u} e \vec{v}.
  2. a área do paralelogramo determinado por \vec{u} e \vec{v}.
  3. a área do paralelogramo determinado por \vec{u}+\vec{v} e \vec{u}-\vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores \vec{u} e \vec{v} com
\|\vec{u}\|=3\sqrt{2}, \|\vec{v}\|=2\sqrt{3} e ângulo entre eles \varangle(\vec{u},\vec{v})=\tfrac{\pi}{6}.
Pede-se (1) área do triângulo formado por \vec{u} e \vec{v},
(2) área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v},
(3) área do paralelogramo formado por \vec{u}+\vec{v} e \vec{u}-\vec{v}.
Para isso vamos usar a fórmula da área em termos do módulo do produto vetorial e a bilinearidade do produto vetorial.

Passo 2

A área do paralelogramo definido por \vec{u} e \vec{v} é
\|\vec{u}\times\vec{v}\| =\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\bigl(\varangle(\vec{u},\vec{v})\bigr).
Substituindo os valores dados:
\|\vec{u}\times\vec{v}\| =(3\sqrt{2})(2\sqrt{3})\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =6\sqrt{6}\times\tfrac12 =3\sqrt{6}.

Passo 3

A partir de \|\vec{u}\times\vec{v}\|=3\sqrt{6}:
– A área do triângulo é metade da do paralelogramo:
\text{área}_{\triangle} =\tfrac12\,\|\vec{u}\times\vec{v}\| =\tfrac12\cdot3\sqrt{6} =\tfrac{3\sqrt{6}}{2}.á
– A área do paralelogramo original é
\text{área}_{\square} =\|\vec{u}\times\vec{v}\| =3\sqrt{6}.á

Passo 4

Para o paralelogramo formado por \vec{u}+\vec{v} e \vec{u}-\vec{v} usamos
(\vec{u}+\vec{v})\times(\vec{u}-\vec{v}) =\vec{u}\times\vec{u} -\vec{u}\times\vec{v} +\vec{v}\times\vec{u} -\vec{v}\times\vec{v} =-2\,(\vec{u}\times\vec{v}).
Logo,
\bigl\|(\vec{u}+\vec{v})\times(\vec{u}-\vec{v})\bigr\| =2\,\|\vec{u}\times\vec{v}\| =2\cdot3\sqrt{6} =6\sqrt{6}.

Resposta

\displaystyle \text{(1) } \frac{3\sqrt{6}}{2},\quad \text{(2) } 3\sqrt{6},\quad \text{(3) } 6\sqrt{6}.

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