(d) \vec{r}(t)=(4 t-2\operatorname{sen} 2t,\,2-2\cos 2t), para \pi\le t\le 2\pi.
Para padronizar e poder apresentar funções de comprimento de arco sem constantes arbitrárias, vou adotar as condições iniciais usuais: para (a), (b) e (c) tomo s(0)=0. Para (d), como o enunciado dá o intervalo \pi\le t\le 2\pi, tomo s(\pi)=0. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Primeiro, uma explicação didática do conceito e da fórmula que vamos usar (a parte “fórmula” é a ferramenta padrão para calcular comprimento de arco):
A função comprimento de arco s(t) mede a distância percorrida ao longo da curva desde um tempo inicial t_0 até o tempo t.
Para uma curva parametrizada por \vec{r}(t) com derivada \vec{r}\,'(t) contínua, a definição é
s(t)=\int_{t_0}^{t}\big\|\vec{r}\,'(u)\big\|\,du,
onde \big\|\vec{r}\,'(u)\big\| é a norma (módulo) do vetor velocidade \vec{r}\,'(u).
Em coordenadas, se \vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), então
Se a norma \big\|\vec{r}\,'(t)\big\| for constante igual a K, a integral é imediata e s(t)=K(t-t_0).
Se a norma envolver funções trigonométricas, prestar atenção ao valor absoluto (por exemplo |\sin t|) quando necessário, e usar identidades trigonométricas para simplificar integrandos antes de integrar.
Como o intervalo é \pi\le t\le 2\pi, sobre esse intervalo \operatorname{sen} t\le 0, então |\operatorname{sen} t|=-\operatorname{sen} t. Tomando t_0=\pi e a condição s(\pi)=0,