• Exercício 3.30. Determine a função comprimento de arco \mathrm{s}(\mathrm{t}) nos seguintes casos
    \vec{r}(t)=(2 t+4,3 t-1,-3 t+2)
    \vec{r}(t)=(3 \cos 2 t, 3 \operatorname{sen} 2 t, 4)
    \vec{r}(t)=(R \cos w t, R \operatorname{sen} w t, c t) ; R, w, c constantes numéricas.
    \vec{r}(t)=(4 t-2 \operatorname{sen} 2 t, 2-2 \cos 2 t), para \pi \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a função comprimento de arco s(t) para quatro curvas dadas por vetores \vec{r}(t). Os dados são:
  • (a) \vec{r}(t)=(2 t+4,\,3 t-1,\,-3 t+2).
  • (b) \vec{r}(t)=(3\cos 2t,\,3\operatorname{sen} 2t,\,4).
  • (c) \vec{r}(t)=(R\cos \omega t,\,R\operatorname{sen} \omega t,\,c t), com R,\omega,c constantes numéricas.
  • (d) \vec{r}(t)=(4 t-2\operatorname{sen} 2t,\,2-2\cos 2t), para \pi\le t\le 2\pi.
Para padronizar e poder apresentar funções de comprimento de arco sem constantes arbitrárias, vou adotar as condições iniciais usuais: para (a), (b) e (c) tomo s(0)=0. Para (d), como o enunciado dá o intervalo \pi\le t\le 2\pi, tomo s(\pi)=0. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Primeiro, uma explicação didática do conceito e da fórmula que vamos usar (a parte “fórmula” é a ferramenta padrão para calcular comprimento de arco):
  • A função comprimento de arco s(t) mede a distância percorrida ao longo da curva desde um tempo inicial t_0 até o tempo t.
  • Para uma curva parametrizada por \vec{r}(t) com derivada \vec{r}\,'(t) contínua, a definição é
s(t)=\int_{t_0}^{t}\big\|\vec{r}\,'(u)\big\|\,du,
onde \big\|\vec{r}\,'(u)\big\| é a norma (módulo) do vetor velocidade \vec{r}\,'(u).
  • Em coordenadas, se \vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), então
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}+\big(z'(t)\big)^{2}}.
  • Se a norma \big\|\vec{r}\,'(t)\big\| for constante igual a K, a integral é imediata e s(t)=K(t-t_0).
  • Se a norma envolver funções trigonométricas, prestar atenção ao valor absoluto (por exemplo |\sin t|) quando necessário, e usar identidades trigonométricas para simplificar integrandos antes de integrar.
Agora aplicamos isso caso a caso.

Passo 3

Caso (a): \vec{r}(t)=(2 t+4,\,3 t-1,\,-3 t+2).
  1. Derivada componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=(2,\,3,\,-3).
  1. Norma da velocidade (constante):
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{4+9+9}=\sqrt{22}.
  1. Tomando t_0=0 e s(0)=0, integra-se a constante:
s(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{22}\,du=\sqrt{22}\,t.
Portanto para (a) s(t)=\sqrt{22}\,t.

Passo 4

Caso (b): \vec{r}(t)=(3\cos 2t,\,3\operatorname{sen} 2t,\,4).
  1. Derivada:
\vec{r}\,'(t)=\big(-6\operatorname{sen} 2t,\,6\cos 2t,\,0\big),
pois \dfrac{d}{dt}(\cos 2t)=-2\operatorname{sen} 2t e \dfrac{d}{dt}(\operatorname{sen} 2t)=2\cos 2t.
  1. Norma da velocidade:
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=\sqrt{(-6\operatorname{sen} 2t)^{2}+(6\cos 2t)^{2}+0^{2}}=\sqrt{36\operatorname{sen}^{2}2t+36\cos^{2}2t}= \sqrt{36}=6.
(Aqui usei \operatorname{sen}^{2}+\cos^{2}=1.)
  1. Tomando t_0=0 e s(0)=0, integra-se a constante:
s(t)=\int_{0}^{t}6\,du=6t.
Portanto para (b) s(t)=6t.

Passo 5

Caso (c): \vec{r}(t)=(R\cos \omega t,\,R\operatorname{sen} \omega t,\,c t), com R,\omega,c constantes.
  1. Derivada:
\vec{r}\,'(t)=(-R\omega\operatorname{sen} \omega t,\,R\omega\cos \omega t,\,c).
  1. Norma da velocidade (observe que \operatorname{sen}^{2}\omega t+\cos^{2}\omega t=1):
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=\sqrt{(R\omega)^{2}\big(\operatorname{sen}^{2}\omega t+\cos^{2}\omega t\big)+c^{2}}=\sqrt{R^{2}\omega^{2}+c^{2}}.
É uma constante positiva (se R,\omega,c não todos zero).
  1. Tomando t_0=0 e s(0)=0,
s(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{R^{2}\omega^{2}+c^{2}}\,du=\sqrt{R^{2}\omega^{2}+c^{2}}\;t.
Portanto para (c) s(t)=\sqrt{R^{2}\omega^{2}+c^{2}}\;t.

Passo 6

Caso (d): \vec{r}(t)=(4 t-2\operatorname{sen} 2t,\,2-2\cos 2t), com \pi\le t\le 2\pi. (Aqui a curva é no plano, só duas componentes.)
  1. Derivada:
\vec{r}\,'(t)=\big(4-4\cos 2t,\,4\operatorname{sen} 2t\big),
pois \dfrac{d}{dt}(-2\operatorname{sen} 2t)=-4\cos 2t e \dfrac{d}{dt}(-2\cos 2t)=4\operatorname{sen} 2t.
  1. Norma da velocidade:
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=\sqrt{(4-4\cos 2t)^{2}+(4\operatorname{sen} 2t)^{2}}.
Fatorando 4:
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=4\sqrt{(1-\cos 2t)^{2}+\operatorname{sen}^{2}2t}.
Simplificando a soma:
(1-\cos 2t)^{2}+\operatorname{sen}^{2}2t=1-2\cos 2t+\cos^{2}2t+\operatorname{sen}^{2}2t=2-2\cos 2t.
Usando a identidade 1-\cos 2t=2\operatorname{sen}^{2}t, obtemos
2-2\cos 2t=4\operatorname{sen}^{2}t.
Logo
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=4\sqrt{4\operatorname{sen}^{2}t}=4\cdot 2|\operatorname{sen} t|=8|\operatorname{sen} t|.
  1. Como o intervalo é \pi\le t\le 2\pi, sobre esse intervalo \operatorname{sen} t\le 0, então |\operatorname{sen} t|=-\operatorname{sen} t. Tomando t_0=\pi e a condição s(\pi)=0,
s(t)=\int_{\pi}^{t}8|\operatorname{sen} u|\,du=\int_{\pi}^{t}-8\operatorname{sen} u\,du.
Integrando:
s(t)=\big[8\cos u\big]_{\pi}^{t}=8(\cos t-\cos \pi)=8(\cos t+1).
Verificação rápida: em t=\pi temos \cos\pi=-1 e s(\pi)=0; em t=2\pi temos \cos 2\pi=1 e s(2\pi)=8(1+1)=16, que é a distância total no intervalo.
Portanto para (d), no intervalo \pi\le t\le 2\pi,
s(t)=8(\cos t+1).

Resposta

s(t)=\sqrt{22}\,t (com s(0)=0)
s(t)=6t (com s(0)=0)
s(t)=\sqrt{R^{2}\omega^{2}+c^{2}}\;t (com s(0)=0)
Para \pi\le t\le 2\pi:\; s(t)=8(\cos t+1) (com s(\pi)=0)