Exercício 30 (Equações de planos e de retas) Considere-se o espaço tridimensional munido de um sistema ortonormal ( O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k} ) de coordenadas cartesianas.
Determinar uma equação cartesiana do plano (P) com representação paramétrica
(P):\left\{\begin{array}{l} x=1+s+2 t \\\ y=2+s+t \\\ z=3 t \end{array} \quad(s, t \in \mathbb{R}) .\right.

Passo 1

O enunciado dá a representação paramétrica do plano (P)\) no espaço como \[(P):\begin{cases} x = 1 + s + 2t,\\\ y = 2 + s + t,\\\ z = 3t, \end{cases}\quad (s,t\in\mathbb{R})
e pede a forma cartesiana. O tema é “equação de plano a partir de forma paramétrica”: precisamos extrair um ponto do plano e dois vetores diretores, calcular um vetor normal e então escrever a equação (n\cdot (r-r_0)=0].

Passo 2

Da forma
r(s,t) = (x,y,z) = (1,2,0) + s\,(1,1,0) + t\,(2,1,3),
vemos que um ponto A no plano é
A=(1,2,0),
e os dois vetores diretores são
v = (1,1,0), \quad w = (2,1,3).

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial v\times w. Calculando
n = v \times w = \bigl(1,1,0\bigr)\times\bigl(2,1,3\bigr) = \bigl(1\cdot 3 - 0\cdot1,\;0\cdot2 - 1\cdot3,\;1\cdot1 - 1\cdot2\bigr) = (3,\,-3,\,-1).

Passo 4

A equação cartesiana do plano com normal n=(3,-3,-1) passando por A=(1,2,0) é
n\cdot\bigl(x-1,\;y-2,\;z-0\bigr)=0,
ou seja
3(x-1)\;-\;3(y-2)\;-\;1\,(z-0)=0.
Simplificando,
3x-3 \;-\;3y+6\;-\;z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x - 3y - z + 3 = 0.

Resposta

A equação cartesiana do plano (P) é
3x \;-\;3y \;-\;z \;+\;3 \;=\; 0.

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