Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
f(x)=\frac{x^{4}+1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o esboço rigoroso do gráfico de
f(x)=\frac{x^{4}+1}{x^{2}}
no maior domínio possível em \mathbb{R}. Vamos precisar de: domínio, pontos em que f(x)=0, limites laterais em pontos de descontinuidade, limites no infinito, derivadas para achar pontos críticos e monotonia, segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão, e assíntotas.

Passo 2

Determinar o domínio e raízes. Como o denominador não pode ser zero,
\text{domínio}=\mathbb{R}\setminus\{0\}.í
Para \,f(x)=0 seria preciso x^{4}+1=0, o que não ocorre em \mathbb{R}. Logo, não há raízes reais.

Passo 3

Limites que revelam descontinuidade e comportamento no infinito. Note que
f(x)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}.
Ao aproximar x\to0^{\pm}, tem-se \,x^{2}\to0 e 1/x^{2}\to+\infty, então
\lim_{x\to0^{\pm}}f(x)=+\infty,
indicando assíntota vertical em x=0. Para x\to\pm\infty, x^{2}\to+\infty e 1/x^{2}\to0, logo
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.

Passo 4

Calcular f'(x) para estudar monotonia.
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(x^{2}+x^{-2}\Bigr) =2x-2x^{-3} =2\,\frac{x^{4}-1}{x^{3}}.
Zerando f'(x)=0 obtém-se x^{4}-1=0, ou seja x=\pm1. Esses são os pontos críticos.

Passo 5

Sinal de f'(x). O numerador x^{4}-1 é negativo para |x|<1 e positivo para |x|>1. O denominador x^{3} segue o sinal de x. Assim:
para x>1: f'>0,
para 0<x<1: f'<0,
para -1<x<0: f'>0,
para x<-1: f'<0.
Logo f cresce em (-1,0) e em (1,\infty), e decresce em (-\infty,-1) e em (0,1).

Passo 6

Classificar extremos locais. Em x=-1 temos sinal de f' de negativo para positivo → mínimo local. Em x=1 também f' muda de negativo para positivo → mínimo local.
f(\pm1)=\frac{1^{4}+1}{1^{2}}=2.

Passo 7

Calcular f''(x) para concavidade.
f''(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(2x-2x^{-3}\Bigr) =2+6x^{-4} =2+\frac{6}{x^{4}}>0\quad\forall x\neq0.
Como f''(x)>0, o gráfico é sempre côncavo para cima e não há pontos de inflexão.

Passo 8

Determinar assíntotas.
– Vertical em x=0, pois \lim_{x\to0^{\pm}}f(x)=+\infty.
– Não há assíntotas horizontais.
– Há uma “assíntota parabólica” de grau 2:
f(x)-x^{2}=\frac{1}{x^{2}}\longrightarrow0\quad\text{quando }x\to\pm\infty,
logo o polinômio y=x^{2} é a assíntota de grau 2.

Resposta

Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty)
Não há raízes reais. \lim_{x\to0^{\pm}}f(x)=+\infty (assíntota vertical x=0). \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.
Derivadas:
f'(x)=2\,\frac{x^{4}-1}{x^{3}},\quad f''(x)=2+\frac{6}{x^{4}}>0.
Pontos críticos: x=\pm1 com mínimos locais f(\pm1)=2.
Monotonia: decrescente em (-\infty,-1) e (0,1); crescente em (-1,0) e (1,\infty).
Concavidade: sempre para cima, sem ponto de inflexão.
Assíntotas: vertical x=0 e parabólica y=x^{2}.
Gráfico: dois ramos separados em x<0 e x>0, cada um com mínimo em \pm1, concavidade para cima, indo a +\infty em x\to0 e x\to\pm\infty, aproximando-se de y=x^{2} para grandes |x|.

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