Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede o esboço rigoroso do gráfico de
no maior domínio possível em
. Vamos precisar de: domínio, pontos em que
, limites laterais em pontos de descontinuidade, limites no infinito, derivadas para achar pontos críticos e monotonia, segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão, e assíntotas.
Passo 2
Determinar o domínio e raízes. Como o denominador não pode ser zero,
Para
seria preciso
, o que não ocorre em
. Logo, não há raízes reais.
Passo 3
Limites que revelam descontinuidade e comportamento no infinito. Note que
Ao aproximar
, tem-se
e
, então
indicando assíntota vertical em
. Para
,
e
, logo
Passo 4
Calcular
para estudar monotonia.
Zerando
obtém-se
, ou seja
. Esses são os pontos críticos.
Passo 5
Sinal de
. O numerador
é negativo para
e positivo para
. O denominador
segue o sinal de
. Assim:
para :
,
para :
,
para :
,
para :
.
Logo cresce em
e em
, e decresce em
e em
.
para
para
para
para
Logo
Passo 6
Classificar extremos locais. Em
temos sinal de
de negativo para positivo → mínimo local. Em
também
muda de negativo para positivo → mínimo local.
Passo 7
Calcular
para concavidade.
Como
, o gráfico é sempre côncavo para cima e não há pontos de inflexão.
Passo 8
Determinar assíntotas.
– Vertical em , pois
.
– Não há assíntotas horizontais.
– Há uma “assíntota parabólica” de grau 2:
– Vertical em
– Não há assíntotas horizontais.
– Há uma “assíntota parabólica” de grau 2:
logo o polinômio
é a assíntota de grau 2.
Resposta
Domínio:
Não há raízes reais. (assíntota vertical
).
.
Derivadas:
Não há raízes reais.
Derivadas:
Pontos críticos:
com mínimos locais
.
Monotonia: decrescente em e
; crescente em
e
.
Concavidade: sempre para cima, sem ponto de inflexão.
Assíntotas: vertical e parabólica
.
Gráfico: dois ramos separados em e
, cada um com mínimo em
, concavidade para cima, indo a
em
e
, aproximando-se de
para grandes
.
Monotonia: decrescente em
Concavidade: sempre para cima, sem ponto de inflexão.
Assíntotas: vertical
Gráfico: dois ramos separados em