Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede o esboço rigoroso do gráfico da função
no maior domínio possível em
. Para isso vamos determinar, passo a passo, o domínio, raízes, limites (laterais e no infinito), assíntotas, derivadas (para monotonicidade e extremos) e segunda derivada (para concavidade e pontos de inflexão).
Passo 2
Domínio e assíntota vertical
O denominador não pode ser zero, logo
O denominador
Em
temos assíntota vertical. De fato,
Passo 3
Raízes (interceptos em
)
As raízes vêm de , ou seja
. Logo os interceptos com o eixo
são
As raízes vêm de
Não há intercepto em
pois
não pertence ao domínio.
Passo 4
Monotonicidade e extremos
Reescrevendo
Reescrevendo
temos
Portanto
é estritamente crescente em
e em
. Não há pontos críticos nem extremos locais.
Passo 5
Concavidade e pontos de inflexão
Calculamos a segunda derivada:
Calculamos a segunda derivada:
Logo
Não há pontos de inflexão em que
dentro do domínio; a concavidade muda apenas em
, que não pertence ao domínio.
Passo 6
Assíntota oblíqua
Para , usando a forma
, vemos que
. Portanto há assíntota oblíqua
Para
pois
Passo 7
Descrição final do gráfico
- Em
: ramo crescente, concavo para cima, sai de , cruza e tende a em . - Em
: ramo crescente, côncavo para baixo, sai de , cruza e cresce para aproximando-se da reta . - Assíntota vertical em
. - Assíntota oblíqua
.
Resposta
O gráfico de
consiste em dois ramos definidos em
e
, ambos crescentes, com concavidade para cima no ramo negativo e para baixo no ramo positivo, cruzando o eixo
em
e
, tendo assíntota vertical
e assíntota oblíqua
.