Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
f(x)=\frac{x^{2}-4}{2 x}

Passo 1

O enunciado pede o esboço rigoroso do gráfico da função
f(x)=\frac{x^{2}-4}{2x}
no maior domínio possível em \mathbb{R}. Para isso vamos determinar, passo a passo, o domínio, raízes, limites (laterais e no infinito), assíntotas, derivadas (para monotonicidade e extremos) e segunda derivada (para concavidade e pontos de inflexão).

Passo 2

Domínio e assíntota vertical
O denominador 2x não pode ser zero, logo
\text{Domínio}=\mathbb{R}\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,\infty).í
Em x=0 temos assíntota vertical. De fato,
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{x^2-4}{2x}=-\infty, \quad \lim_{x\to0^-}f(x)=+\infty.

Passo 3

Raízes (interceptos em x)
As raízes vêm de x^2-4=0, ou seja x=\pm2. Logo os interceptos com o eixo x são
(-2,0)\quad\text{e}\quad(2,0).
Não há intercepto em y pois x=0 não pertence ao domínio.

Passo 4

Monotonicidade e extremos
Reescrevendo
f(x)=\frac{x^2-4}{2x}=\frac{x}{2}-\frac{2}{x},
temos
f'(x)=\frac{1}{2}+\frac{2}{x^2} =\frac{x^2+4}{2x^2}>0 \quad\forall x\neq0.
Portanto f é estritamente crescente em (-\infty,0) e em (0,\infty). Não há pontos críticos nem extremos locais.

Passo 5

Concavidade e pontos de inflexão
Calculamos a segunda derivada:
f''(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl(\tfrac12+\tfrac{2}{x^2}\Bigr) =-\frac{4}{x^3}.
Logo
f''(x)>0\text{ se }x<0 \quad(\text{concavidade para cima}), \qquad f''(x)<0\text{ se }x>0 \quad(\text{concavidade para baixo}).
Não há pontos de inflexão em que f''(x)=0 dentro do domínio; a concavidade muda apenas em x=0, que não pertence ao domínio.

Passo 6

Assíntota oblíqua
Para x\to\pm\infty, usando a forma f(x)=\tfrac{x}{2}-\tfrac{2}{x}, vemos que \tfrac{2}{x}\to0. Portanto há assíntota oblíqua
y=\frac{x}{2},
pois
\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-\tfrac{x}{2}\bigr) =\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(-\tfrac{2}{x}\bigr)=0.

Passo 7

Descrição final do gráfico
  • Em (-\infty,0): ramo crescente, concavo para cima, sai de (-\infty,-\infty), cruza (-2,0) e tende a +\infty em x\to0^-.
  • Em (0,\infty): ramo crescente, côncavo para baixo, sai de (0,-\infty), cruza (2,0) e cresce para (\infty,\infty) aproximando-se da reta y=x/2.
  • Assíntota vertical em x=0.
  • Assíntota oblíqua y=x/2.

Resposta

O gráfico de f(x)=\frac{x^2-4}{2x} consiste em dois ramos definidos em (-\infty,0) e (0,\infty), ambos crescentes, com concavidade para cima no ramo negativo e para baixo no ramo positivo, cruzando o eixo x em (-2,0) e (2,0), tendo assíntota vertical x=0 e assíntota oblíqua y=\tfrac{x}{2}.

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