Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede que a gente esboce com rigor o gráfico de
e, para isso, vamos encontrar: o domínio, possíveis raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas. Como a função é uma razão de polinômios, o domínio inicial é todo
.
Passo 2
Domínio e interceptos.
O denominador nunca se anula para
, então o domínio é
O denominador
Para as raízes (interseção com o eixo
), resolveríamos
, mas como o numerador é constante não há solução. Logo, não existem zeros. O intercepto com o eixo
é
isto é, o gráfico passa em
.
Passo 3
Monotonicidade e ponto crítico.
Calculemos a derivada primeira por regra do quociente ou produto:
Calculemos a derivada primeira por regra do quociente ou produto:
Anulando
dá
, o único ponto crítico. O sinal de
:
- Para
, (já que ), então cresce em . - Para
, , então decresce em .
Emtemos um máximo local, com valor .
Passo 4
Concavidade e pontos de inflexão.
A derivada segunda é
A derivada segunda é
Anula-se em
, ou seja,
. O sinal de
mostra:
- Para
, tem-se , logo e a curva é côncava para baixo. - Para
, , logo e a curva é côncava para cima.
Assim, há pontos de inflexão em. Os valores são
Passo 5
Limites e assíntotas.
À medida que ,
À medida que
Logo, existe assíntota horizontal em
Não há assíntota vertical nem oblíqua, pois o denominador nunca se anula e o grau do numerador é menor que o do denominador.
Resposta
A curva de
tem domínio
, não cruza o eixo
, cruza o eixo
em
, apresenta máximo em
, cresce em
e decresce em
, tem pontos de inflexão em
, concavidade para baixo em
e para cima em
, e assíntota horizontal
.