Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar com rigor o gráfico de
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}
e listar: domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas. Para isso vamos usar cálculo de derivadas e análise de limites.

Passo 2

Determinar domínio e raízes.
O domínio são todos os x\in\mathbb{R}, pois 1+x^{2}>0 para todo real.
Para encontrar raízes, resolvemos
\frac{1}{1+x^{2}}=0.
Como o numerador é constante igual a 1, não há solução real. Logo, não existem zeros de f.

Passo 3

Calcular a primeira derivada para achar pontos críticos e monotonicidade.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1+x^{2}\bigr)^{-1} =-1\cdot(1+x^{2})^{-2}\cdot 2x =-\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}.
Igualando a zero, obtemos x=0 como único ponto crítico.
Analisando o sinal de f':
  • Para x<0, -2x>0 e (1+x^{2})^{2}>0, logo f'(x)>0: f cresce em (-\infty,0).
  • Para x>0, -2x<0, logo f'(x)<0: f decresce em (0,\infty).
    Em x=0, f(0)=1, é um máximo global.

Passo 4

Calcular a segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão.
Usando derivação do produto ou quociente, chega-se a
f''(x) =2\,\frac{3x^{2}-1}{(1+x^{2})^{3}}.
O numerador zera em 3x^{2}-1=0, ou seja, x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Para \lvert x\rvert<\tfrac{1}{\sqrt{3}}, 3x^{2}-1<0 f''(x)<0: concavidade para baixo.
  • Para \lvert x\rvert>\tfrac{1}{\sqrt{3}}, 3x^{2}-1>0 f''(x)>0: concavidade para cima.
    Logo, há pontos de inflexão em
\Bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}},\,f\bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\Bigr) =\Bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}},\,\tfrac{3}{4}\Bigr).

Passo 5

Analisar limites e assíntotas.
Para x\to\pm\infty,
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{1+x^{2}}=0,
então y=0 é assíntota horizontal.
Não há pontos de descontinuidade no domínio, logo não há assíntotas verticais nem limites laterais especiais além da continuidade.

Passo 6

Resumo para esboçar o gráfico:
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Sem raízes.
  • Máximo global em (0,1).
  • Cresce em (-\infty,0), decresce em (0,\infty).
  • Concavidade para baixo em \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\,\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) e para cima fora desse intervalo.
  • Pontos de inflexão em \bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{3}{4}\bigr).
  • Assíntota horizontal y=0.
  • Função é par (simétrica em relação ao eixo y).
Com essas informações você desenha uma curva em “sino” (bell-shape), atingindo 1 em x=0, caindo monotonicamente até se aproximar de zero, mudando de concavidade em \pm1/\sqrt{3}, e aproximando-se de y=0 quando \lvert x\rvert\to\infty.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Zeros: nenhum
Ponto crítico: x=0 (máximo global em (0,1))
Crescente em (-\infty,0), decrescente em (0,\infty)
Concavidade para baixo em \lvert x\rvert<\tfrac{1}{\sqrt{3}}, para cima em \lvert x\rvert>\tfrac{1}{\sqrt{3}}
Pontos de inflexão: \bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{3}{4}\bigr)
Limites no infinito: \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0
Assíntota horizontal: y=0
Simetria: função par (eixo y)

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