Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar com rigor o gráfico de
e listar: domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas. Para isso vamos usar cálculo de derivadas e análise de limites.
Passo 2
Determinar domínio e raízes.
O domínio são todos os , pois
para todo real.
Para encontrar raízes, resolvemos
O domínio são todos os
Para encontrar raízes, resolvemos
Como o numerador é constante igual a
, não há solução real. Logo, não existem zeros de
.
Passo 3
Calcular a primeira derivada para achar pontos críticos e monotonicidade.
Igualando a zero, obtemos
como único ponto crítico.
Analisando o sinal de :
Analisando o sinal de
- Para
, e , logo : cresce em . - Para
, , logo : decresce em .
Em, , é um máximo global.
Passo 4
Calcular a segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão.
Usando derivação do produto ou quociente, chega-se a
Usando derivação do produto ou quociente, chega-se a
O numerador zera em
, ou seja,
.
- Para
, ⇒ : concavidade para baixo. - Para
, ⇒ : concavidade para cima.
Logo, há pontos de inflexão em
Passo 5
Analisar limites e assíntotas.
Para ,
Para
então
é assíntota horizontal.
Não há pontos de descontinuidade no domínio, logo não há assíntotas verticais nem limites laterais especiais além da continuidade.
Não há pontos de descontinuidade no domínio, logo não há assíntotas verticais nem limites laterais especiais além da continuidade.
Passo 6
Resumo para esboçar o gráfico:
- Domínio:
. - Sem raízes.
- Máximo global em
. - Cresce em
, decresce em . - Concavidade para baixo em
e para cima fora desse intervalo. - Pontos de inflexão em
. - Assíntota horizontal
. - Função é par (simétrica em relação ao eixo
).
Com essas informações você desenha uma curva em “sino” (bell-shape), atingindo
em
, caindo monotonicamente até se aproximar de zero, mudando de concavidade em
, e aproximando-se de
quando
.
Resposta
Domínio:
Zeros: nenhum
Ponto crítico: (máximo global em
)
Crescente em , decrescente em
Concavidade para baixo em , para cima em
Pontos de inflexão:
Limites no infinito:
Assíntota horizontal:
Simetria: função par (eixo )
Zeros: nenhum
Ponto crítico:
Crescente em
Concavidade para baixo em
Pontos de inflexão:
Limites no infinito:
Assíntota horizontal:
Simetria: função par (eixo