Exercício 32. Calcule a derivada de:
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)+1}{\ln (x)+2^{x}+k}, k contante \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)+1}{\ln(x)+2^{x}+k},
onde k é constante real.
Para isso vamos usar a regra do quociente e as derivadas elementares de \sin(x), \ln(x) e 2^{x}.

Passo 2

Definimos o numerador e o denominador separadamente:
g(x)=\operatorname{sen}(x)+1, \qquad h(x)=\ln(x)+2^{x}+k.

Passo 3

Calculamos as derivadas de g e h:
– Derivada de g(x):
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(x)+1\bigr) =\cos(x).
– Derivada de h(x):
h'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)+2^{x}+k\bigr) =\frac{1}{x}+2^{x}\ln(2)+0 =\frac{1}{x}+2^{x}\ln(2).

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente, que diz
\bigl(\tfrac{g}{h}\bigr)'(x) =\frac{g'(x)\,h(x)-g(x)\,h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^{2}}.
Substituindo g,g',h,h':
f'(x) =\frac{\cos(x)\,\bigl(\ln(x)+2^{x}+k\bigr) -\bigl(\operatorname{sen}(x)+1\bigr)\,\bigl(\tfrac{1}{x}+2^{x}\ln(2)\bigr)} {\bigl(\ln(x)+2^{x}+k\bigr)^{2}}.

Resposta

f'(x) =\frac{\cos(x)\,\bigl(\ln(x)+2^{x}+k\bigr) -\bigl(\operatorname{sen}(x)+1\bigr)\,\bigl(\tfrac{1}{x}+2^{x}\ln(2)\bigr)} {\bigl(\ln(x)+2^{x}+k\bigr)^{2}}.

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