Exercício 32. Encontre a inversa da matriz (se existir).
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 6 & 1 \\\\ 3 & 10 & -1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 6 & 1\\\\ 3 & 10 & -1 \end{pmatrix}
e pede sua inversa, caso exista.
Conteúdo envolvido: critério de invertibilidade por determinante. Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, \det(A)\neq0.

Passo 2

Vamos calcular \det(A) por expansão de Laplace na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}6 & 1\\\ 10 & -1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & -1\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 6\\\ 3 & 10\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}6 & 1\\\ 10 & -1\end{pmatrix} =6\cdot(-1)-1\cdot10=-6-10=-16,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & -1\end{pmatrix} =2\cdot(-1)-1\cdot3=-2-3=-5,
\det\begin{pmatrix}2 & 6\\\ 3 & 10\end{pmatrix} =2\cdot10-6\cdot3=20-18=2.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot(-16)-2\cdot(-5)+3\cdot2 =-16+10+6=0.

Passo 3

Como \det(A)=0, a matriz A é singular e não tem inversa.

Resposta

A inversa não existe, pois \det(A)=0.

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