Exercício 32 (Ponto de interseção de duas retas) Considere-se fixado no espaço tridimensional um sistema ortonormal ( O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k} ) de coordenadas cartesianas. Determinar, se existir, as coordenadas do ponto M de interseção das retas \left(R_{1}\right) e \left(R_{2}\right) com as respectivas representação paramétrica e através de um sistema de equações lineares,
\left(R_{1}\right):\left\{\begin{array}{l} x=3+2 t \\\ y=-1-t \\\ z=4+3 t \end{array} \quad(t \in \mathbb{R}) ; \quad\left(R_{2}\right):\left\{\begin{array}{rr} x+3 y & =4 \\\\ 5 y+z & =7 \end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado apresenta duas retas no espaço tridimensional: (R_1) dada em forma paramétrica e (R_2) dada por um sistema de duas equações lineares (dois planos). Queremos determinar, se existir, o ponto M que pertence simultaneamente a (R_1) e a (R_2). Para isso, basta impor que um ponto genérico de (R_1) satisfaça as equações de (R_2).

Passo 2

Um ponto genérico de (R_1) é
\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)=\bigl(3+2t,\,-1 - t,\;4+3t\bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para que esse ponto pertença a (R_2), ele deve satisfazer
x(t)+3y(t)=4, \qquad 5y(t)+z(t)=7.
Substituindo x(t)=3+2t, y(t)=-1-t e z(t)=4+3t, obtemos o sistema
(3+2t)+3(-1 - t)=4,
5(-1 - t)+(4+3t)=7.

Passo 4

Da primeira equação:
3 + 2t -3 -3t =4 \;\Longrightarrow\; -t =4 \;\Longrightarrow\; t = -4.
Verificando na segunda:
5(-1+4)+(4+3\cdot(-4)) =5\cdot3 + (4-12) =15-8 =7,
que bate com o enunciado. Logo, t=-4 é o parâmetro de interseção.

Passo 5

Substituindo t=-4 nas coordenadas de (R_1), vem
x(-4)=3+2(-4)=-5, \quad y(-4)=-1-(-4)=3, \quad z(-4)=4+3(-4)=-8.
Portanto, o ponto de interseção é M(-5,\,3,\,-8).

Resposta

M(-5,\,3,\,-8).

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