Exercício 3.34. Considere o vetor \vec{r}(t)=(5 \cos 2 t, 5 \operatorname{sen} 2 t), logo:
a) Calcular a função comprimento de arco s(t).
b) Reescreva a equação \vec{r}(t) em termos de s, ou seja \vec{r}(s).
c) Determinar \vec{r}^{\prime}(s) e provar que \left\|\vec{r}^{\prime}(s)\right\|=1. Logo \vec{r}^{\prime}(s) é um vetor unitário.
d) Verifique que: K(s)=\left\|\vec{r}^{\prime \prime}(s)\right\|=\frac{1}{5}.

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor posição
\vec{r}(t)=\bigl(5\cos(2t),\;5\sin(2t)\bigr)
e pede quatro coisas:
  • (a) calcular a função comprimento de arco s(t);
  • (b) reescrever \vec{r}(t) em termos de s, ou seja obter \vec{r}(s);
  • (c) determinar \vec{r}^{\prime}(s) e provar que \bigl\|\vec{r}^{\prime}(s)\bigr\|=1 (isto é, que é unitário);
  • (d) verificar que a curvatura K(s)=\bigl\|\vec{r}^{\prime\prime}(s)\bigr\|=\dfrac{1}{5}.
Informações relevantes dadas:
  • A função posição está em coordenadas planas com componentes trigonométricas com argumento 2t.
  • Não foi explicitado um ponto inicial para o comprimento de arco; vou tomar a convenção usual s(0)=0.
  • Lembrete útil: o comprimento de arco desde t_0 até t é dado por \displaystyle s(t)=\int_{t_0}^{t}\bigl\|\vec{r}'(u)\bigr\|\,du.

Passo 2

Calculando a derivada \vec{r}^{\prime}(t) componente a componente (uso a regra da cadeia para funções trigonométricas):
\frac{d}{dt}\bigl(5\cos(2t)\bigr)=5\cdot(-\sin(2t))\cdot\frac{d}{dt}(2t)=-10\sin(2t),
\frac{d}{dt}\bigl(5\sin(2t)\bigr)=5\cdot\cos(2t)\cdot\frac{d}{dt}(2t)=10\cos(2t).
Portanto
\vec{r}^{\prime}(t)=\bigl(-10\sin(2t),\;10\cos(2t)\bigr).
Explicando a regra usada: para \cos(2t) aplicou-se \tfrac{d}{dt}\cos(2t)=-\sin(2t)\cdot(2); análogo para \sin.

Passo 3

Calculemos a velocidade escalar (norma de \vec{r}^{\prime}(t)):
\bigl\|\vec{r}^{\prime}(t)\bigr\|=\sqrt{(-10\sin(2t))^{2}+(10\cos(2t))^{2}} =\sqrt{100\sin^{2}(2t)+100\cos^{2}(2t)}.
Fatorando 100 e usando a identidade trigonométrica \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1, obtemos
\bigl\|\vec{r}^{\prime}(t)\bigr\|=\sqrt{100\bigl(\sin^{2}(2t)+\cos^{2}(2t)\bigr)}=\sqrt{100}=10.
Ou seja, a velocidade é constante e igual a 10.
Agora aplicamos a fórmula do comprimento de arco com a convenção s(0)=0:
s(t)=\int_{0}^{t}\bigl\|\vec{r}^{\prime}(u)\bigr\|\,du=\int_{0}^{t}10\,du=10t.
Portanto obtivemos explicitamente s(t)=10t. Note que isso significa que s cresce linearmente com t e que podemos inverter a relação: t=\dfrac{s}{10}.

Passo 4

Reescrever \vec{r} em termos de s: substituir t=\dfrac{s}{10} em \vec{r}(t):
\vec{r}(s)=\vec{r}\!\left(\frac{s}{10}\right) =\bigl(5\cos\bigl(2\cdot\frac{s}{10}\bigr),\;5\sin\bigl(2\cdot\frac{s}{10}\bigr)\bigr) =\bigl(5\cos\bigl(\tfrac{s}{5}\bigr),\;5\sin\bigl(\tfrac{s}{5}\bigr)\bigr).
Aqui só fiz simplificação do argumento 2\cdot\dfrac{s}{10}=\dfrac{s}{5}.

Passo 5

Agora calculamos \vec{r}^{\prime}(s)=\dfrac{d\vec{r}}{ds}. Podemos derivar a expressão \vec{r}(s)=\bigl(5\cos(\tfrac{s}{5}),\;5\sin(\tfrac{s}{5})\bigr) componente a componente, usando novamente a regra da cadeia.
Derivada da primeira componente:
\frac{d}{ds}\bigl(5\cos(\tfrac{s}{5})\bigr)=5\cdot\bigl(-\sin(\tfrac{s}{5})\bigr)\cdot\frac{d}{ds}\bigl(\tfrac{s}{5}\bigr) =5\cdot\bigl(-\sin(\tfrac{s}{5})\bigr)\cdot\frac{1}{5}=-\sin\bigl(\tfrac{s}{5}\bigr).
Derivada da segunda componente:
\frac{d}{ds}\bigl(5\sin(\tfrac{s}{5})\bigr)=5\cdot\cos(\tfrac{s}{5})\cdot\frac{1}{5}=\cos\bigl(\tfrac{s}{5}\bigr).
Portanto
\vec{r}^{\prime}(s)=\bigl(-\sin(\tfrac{s}{5}),\;\cos(\tfrac{s}{5})\bigr).
Verificamos agora que é unitário calculando sua norma:
\bigl\|\vec{r}^{\prime}(s)\bigr\| =\sqrt{\bigl(-\sin(\tfrac{s}{5})\bigr)^{2}+\bigl(\cos(\tfrac{s}{5})\bigr)^{2}} =\sqrt{\sin^{2}(\tfrac{s}{5})+\cos^{2}(\tfrac{s}{5})}=1.
Explicação didática: um vetor tangente parametrizado por comprimento de arco tem sempre norma 1 porque o comprimento de arco é a própria variável que mede distância ao longo da curva; por isso \dfrac{d\vec{r}}{ds} é o vetor tangente unitário.

Passo 6

Calcular \vec{r}^{\prime\prime}(s)=\dfrac{d^{2}\vec{r}}{ds^{2}} e obter a curvatura K(s)=\bigl\|\vec{r}^{\prime\prime}(s)\bigr\|.
Derivando \vec{r}^{\prime}(s)=\bigl(-\sin(\tfrac{s}{5}),\;\cos(\tfrac{s}{5})\bigr) componente a componente:
\frac{d}{ds}\bigl(-\sin(\tfrac{s}{5})\bigr)=-\cos(\tfrac{s}{5})\cdot\frac{1}{5}= -\tfrac{1}{5}\cos(\tfrac{s}{5}),
\frac{d}{ds}\bigl(\cos(\tfrac{s}{5})\bigr)=-\sin(\tfrac{s}{5})\cdot\frac{1}{5}= -\tfrac{1}{5}\sin(\tfrac{s}{5}).
Assim
\vec{r}^{\prime\prime}(s)=\bigl(-\tfrac{1}{5}\cos(\tfrac{s}{5}),\; -\tfrac{1}{5}\sin(\tfrac{s}{5})\bigr).
Calculamos a norma:
\bigl\|\vec{r}^{\prime\prime}(s)\bigr\| =\sqrt{\bigl(-\tfrac{1}{5}\cos(\tfrac{s}{5})\bigr)^{2}+\bigl(-\tfrac{1}{5}\sin(\tfrac{s}{5})\bigr)^{2}} =\sqrt{\tfrac{1}{25}\bigl(\cos^{2}(\tfrac{s}{5})+\sin^{2}(\tfrac{s}{5})\bigr)} =\sqrt{\tfrac{1}{25}}=\tfrac{1}{5}.
Portanto a curvatura (magnitude da derivada do vetor tangente unitário em relação ao arco) é constante e igual a \dfrac{1}{5}, o que conclui a verificação pedida.

Resposta

s(t)=10t\n
\vec{r}(s)=\bigl(5\cos\bigl(\tfrac{s}{5}\bigr),\;5\sin\bigl(\tfrac{s}{5}\bigr)\bigr)\n
\vec{r}^{\prime}(s)=\bigl(-\sin\bigl(\tfrac{s}{5}\bigr),\;\cos\bigl(\tfrac{s}{5}\bigr)\bigr) com \bigl\|\vec{r}^{\prime}(s)\bigr\|=1\n
K(s)=\bigl\|\vec{r}^{\prime\prime}(s)\bigr\|=\dfrac{1}{5}