Exercício 3.34. Considere o vetor \vec{r}(t)=(5 \cos 2 t, 5 \operatorname{sen} 2 t), logo:
a) Calcular a função comprimento de arco s(t).
b) Reescreva a equação \vec{r}(t) em termos de s, ou seja \vec{r}(s).
c) Determinar \vec{r}^{\prime}(s) e provar que \left\|\vec{r}^{\prime}(s)\right\|=1. Logo \vec{r}^{\prime}(s) é um vetor unitário.
d) Verifique que: K(s)=\left\|\vec{r}^{\prime \prime}(s)\right\|=\frac{1}{5}.
Passo 1
O enunciado nos dá o vetor posição
\vec{r}(t)=\bigl(5\cos(2t),\;5\sin(2t)\bigr)
e pede quatro coisas:
(a) calcular a função comprimento de arco s(t);
(b) reescrever \vec{r}(t) em termos de s, ou seja obter \vec{r}(s);
(c) determinar \vec{r}^{\prime}(s) e provar que \bigl\|\vec{r}^{\prime}(s)\bigr\|=1 (isto é, que é unitário);
(d) verificar que a curvatura K(s)=\bigl\|\vec{r}^{\prime\prime}(s)\bigr\|=\dfrac{1}{5}.
Informações relevantes dadas:
A função posição está em coordenadas planas com componentes trigonométricas com argumento 2t.
Não foi explicitado um ponto inicial para o comprimento de arco; vou tomar a convenção usual s(0)=0.
Lembrete útil: o comprimento de arco desde t_0 até t é dado por \displaystyle s(t)=\int_{t_0}^{t}\bigl\|\vec{r}'(u)\bigr\|\,du.
Passo 2
Calculando a derivada \vec{r}^{\prime}(t) componente a componente (uso a regra da cadeia para funções trigonométricas):
Aqui só fiz simplificação do argumento 2\cdot\dfrac{s}{10}=\dfrac{s}{5}.
Passo 5
Agora calculamos \vec{r}^{\prime}(s)=\dfrac{d\vec{r}}{ds}. Podemos derivar a expressão \vec{r}(s)=\bigl(5\cos(\tfrac{s}{5}),\;5\sin(\tfrac{s}{5})\bigr) componente a componente, usando novamente a regra da cadeia.
Explicação didática: um vetor tangente parametrizado por comprimento de arco tem sempre norma 1 porque o comprimento de arco é a própria variável que mede distância ao longo da curva; por isso \dfrac{d\vec{r}}{ds} é o vetor tangente unitário.
Passo 6
Calcular \vec{r}^{\prime\prime}(s)=\dfrac{d^{2}\vec{r}}{ds^{2}} e obter a curvatura K(s)=\bigl\|\vec{r}^{\prime\prime}(s)\bigr\|.
Derivando \vec{r}^{\prime}(s)=\bigl(-\sin(\tfrac{s}{5}),\;\cos(\tfrac{s}{5})\bigr) componente a componente:
Portanto a curvatura (magnitude da derivada do vetor tangente unitário em relação ao arco) é constante e igual a \dfrac{1}{5}, o que conclui a verificação pedida.
Resposta
s(t)=10t\n \vec{r}(s)=\bigl(5\cos\bigl(\tfrac{s}{5}\bigr),\;5\sin\bigl(\tfrac{s}{5}\bigr)\bigr)\n \vec{r}^{\prime}(s)=\bigl(-\sin\bigl(\tfrac{s}{5}\bigr),\;\cos\bigl(\tfrac{s}{5}\bigr)\bigr) com \bigl\|\vec{r}^{\prime}(s)\bigr\|=1\n K(s)=\bigl\|\vec{r}^{\prime\prime}(s)\bigr\|=\dfrac{1}{5}