Exercício 34. Três pessoas, A, B, C, chegam no mesmo dia a uma cidade onde há cinco hotéis H1?, H2, H3, H4 e H5. Sabendo que cada hotel tem pelo menos três vagas, qual/quais das seguintes afirmações, referentes à distribuição das três pessoas nos cinco hotéis, é/são corretas?
(a) Existe um total de 120 combinações.
(b) Existe um total de 60 combinações se cada pessoa pernoitar num hotel diferente.
(c) Existe um total de 60 combinações se duas e apenas duas pessoas pernoitarem no mesmo hotel.
(a) Existe um total de 120 combinações.
(b) Existe um total de 60 combinações se cada pessoa pernoitar num hotel diferente.
(c) Existe um total de 60 combinações se duas e apenas duas pessoas pernoitarem no mesmo hotel.
Passo 1
O enunciado diz que temos três pessoas distintas
,
e
e cinco hotéis distintos
, cada um com pelo menos três vagas. Queremos contar de quantas formas podemos alocar essas três pessoas nos hotéis, nos casos (a) sem restrição, (b) com todas em hotéis diferentes e (c) com exatamente duas no mesmo hotel. O conteúdo principal aqui é a Contagem por Princípio Fundamental e Permutações.
Passo 2
Para o total sem restrição, cada uma das três pessoas tem 5 escolhas independentes de hotel. Pelo Princípio Fundamental,
Logo, a afirmação (a) de que haveria 120 combinações está incorreta.
Passo 3
No caso em que cada pessoa pernoita em hotel diferente, primeiro escolhemos quais 3 hotéis dentre os 5 serão usados e depois atribuímos as 3 pessoas a esses 3 hotéis. Isso é uma permutação de 5 elementos tomados 3 a 3:
Portanto, a afirmação (b) está correta.
Passo 4
Para o caso em que exatamente duas pessoas ficam no mesmo hotel e a terceira em hotel distinto, procedemos assim:
- Escolher o par de pessoas que vão juntas:
formas. - Escolher o hotel onde esse par ficará:
opções. - Escolher o hotel para a pessoa solitária (diferente do hotel do par):
opções.
Multiplicando:
Logo, a afirmação (c) também está correta.
Resposta
(b) e (c) estão corretas.