Exercício 35. Calcule a derivada das seguintes funções (envolvem regra da cadeia):
f(x)=\cos \left(\frac{x}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos uma função externa \cos(u) e uma função interna u(x)=\tfrac{x}{2}.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\frac{x}{2}
e calculamos sua derivada:
u'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr)=\frac{1}{2}.

Passo 3

Sabemos que a derivada da função externa é
\frac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{d}{du}\cos(u)\Big|_{u=u(x)}\cdot u'(x) =-\sin\!\bigl(u(x)\bigr)\cdot\frac{1}{2}.

Passo 4

Substituindo u(x)=\tfrac{x}{2} na expressão acima, obtemos a forma final:

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{2}\,\sin\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr).

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