Exercício 35. Calcule a derivada das seguintes funções (envolvem regra da cadeia):
f(x)=\operatorname{sen}\left((2 x+3)^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\operatorname{sen}\bigl((2x+3)^{4}\bigr).
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia, pois temos uma função composta de seno e potência.

Passo 2

Identificamos a função externa e a interna.
A externa é
F(u)=\operatorname{sen}(u)
e a interna é
u(x)=(2x+3)^{4}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=F'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x).

Passo 3

Calculamos F'(u). Como
F(u)=\operatorname{sen}(u),
temos
F'(u)=\cos(u).
Logo, substituindo u=(2x+3)^{4},
F'\bigl(u(x)\bigr)=\cos\bigl((2x+3)^{4}\bigr).

Passo 4

Agora calculamos u'(x). Definindo v(x)=2x+3, escrevemos u(x)=v(x)^{4}. Primeiro,
v'(x)=2.
Depois, pela regra da cadeia para potência,
u'(x)=4\,v(x)^{3}\cdot v'(x) =4\,(2x+3)^{3}\cdot2 =8\,(2x+3)^{3}.

Passo 5

Multiplicando as derivadas externa e interna, obtemos
f'(x) =\cos\bigl((2x+3)^{4}\bigr)\cdot8\,(2x+3)^{3}.

Resposta

f'(x)=8\,(2x+3)^{3}\cos\bigl((2x+3)^{4}\bigr).

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