Exercício 35. Calcule a derivada das seguintes funções (envolvem regra da cadeia):
h(x)=f(2 x)+\operatorname{sen}(g(x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
\displaystyle h(x)=f(2x)+\operatorname{sen}(g(x)).
O conteúdo principal é a regra da cadeia, usada sempre que temos uma composição de funções.

Passo 2

Para a primeira parcela f(2x), definimos a função interna
\displaystyle u(x)=2x
e a externa \displaystyle F(u)=f(u).
Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}f(2x) =F'(u(x))\cdot u'(x) =f'\bigl(2x\bigr)\cdot 2.

Passo 3

Para a segunda parcela \operatorname{sen}(g(x)), definimos
\displaystyle v(x)=g(x)
e a externa G(v)=\operatorname{sen}(v).
Aplicando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}\bigl(g(x)\bigr) =G'\bigl(v(x)\bigr)\cdot v'(x) =\cos\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).

Passo 4

Como a derivada de uma soma é a soma das derivadas, juntamos os resultados:
h'(x) =2\,f'\bigl(2x\bigr) +\cos\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).

Resposta

\boxed{h'(x)=2\,f'\bigl(2x\bigr)+\cos\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).}

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