Exercício 35. Calcule a derivada das seguintes funções (envolvem regra da cadeia):
y=\operatorname{sen}\left(\tan \left(e^{x}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \operatorname{sen}\bigl(\tan(e^x)\bigr).
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia aplicada a uma composição tripla: exponencial, tangente e seno.

Passo 2

Vamos identificar as três camadas de funções compostas:
  1. v(x) = e^x
  2. u(v) = \tan(v)
  3. y(u) = \operatorname{sen}(u)
Cada camada terá sua derivada parcial: v'(x), u'(v) e y'(u).

Passo 3

Calculemos cada derivada elemental:
v'(x) = \frac{d}{dx}e^x = e^x.
u'(v) = \frac{d}{dv}\tan(v) = \operatorname{sec}^2(v).
y'(u) = \frac{d}{du}\operatorname{sen}(u) = \cos(u).

Passo 4

Pela regra da cadeia, a derivada de y em relação a x é
\frac{dy}{dx} = y'(u)\,\cdot\,u'(v)\,\cdot\,v'(x).
Substituindo u = \tan(e^x) e v = e^x, obtemos
\frac{dy}{dx} = \cos\bigl(\tan(e^x)\bigr)\;\cdot\;\operatorname{sec}^2\bigl(e^x\bigr)\;\cdot\;e^x.

Resposta

\frac{dy}{dx} = e^x \,\operatorname{sec}^2\bigl(e^x\bigr)\,\cos\bigl(\tan(e^x)\bigr).

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