Exercício 35. Verifique quais das séries abaixo convergem:
;
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede para verificar quais das séries convergem. Vou interpretar isso como duas séries distintas que devemos analisar:
e
Informações importantes dadas: o termo geral em ambas é (em módulo)
. A pergunta é: cada uma dessas séries converge ou diverge?
Passo 2
Vou analisar a série (A)
. Esta é uma série do tipo “p-série”, ou seja,
com
. Uma informação fundamental sobre p-séries é:
Vou justificar isso de forma simples usando o teste da integral: compare a série com a integral imprópria
. Se essa integral diverge, a série também diverge; se converge, a série converge (argumento padrão do teste da integral).
Passo 3
Calculo a integral para
:
Como
quando
, a integral diverge. Pelo teste da integral (ou pela regra dos p-séries), a série
diverge.
Passo 4
Agora analiso a série (B)
. Vou usar o critério de Leibniz (teste da série alternada). Esse critério diz que a série alternada
converge se as seguintes condições ocorrerem:
-
para todo ; -
é monotonicamente decrescente (a partir de algum ); -
.
Aqui podemos tomar
.
Passo 5
Verifico as três condições para
:
- Positividade: claramente
para todo . - Monotonicidade decrescente: para
temos , logo
ou seja,
. Portanto
é decrescente.
- Limite nulo:
.
Como todas as condições do critério de Leibniz estão satisfeitas, a série alternada
converge.
Passo 6
Agora verifico se a convergência da série alternada é absoluta ou condicional. A série converge absolutamente se
converge. Mas já vimos no Passo 3 que essa série diverge. Logo a série alternada não converge absolutamente. Conclusão: ela converge, porém apenas de forma condicional.