Exercício 35. Verifique quais das séries abaixo convergem:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\pi}};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\pi}}
converge ou diverge. Informações dadas / observações imediatas:
  • A soma é sobre k=1,2,3,\dots.
  • O termo geral é a_k=\dfrac{1}{k^{\pi}}.
  • O expoente é \pi (número real aproximadamente 3{,}14159).

Passo 2

O que significa “verificar convergência” aqui?
  • Uma série \sum_{k=1}^{\infty} a_k converge se a sequência das somas parciais
S_n=\sum_{k=1}^{n} a_k
tem limite finito quando n\to\infty.
  • Para séries com termos positivos (como a nossa, pois a_k>0 para todo k), uma técnica padrão é usar o “teste da integral” ou o "teste da série p" — ambos dizem, de maneiras equivalentes para este caso, que o comportamento depende do expoente no denominador.

Passo 3

Verifique as hipóteses do teste da integral (precaução didática):
  • Considere a função
f(x)=\frac{1}{x^{\pi}},\qquad x\ge1.
  • f é positiva para x\ge1 porque x^{\pi}>0.
  • f é contínua para x\ge1 (potência de x com expoente real positivo).
  • Para ver que f é decrescente, calcule a derivada:
f'(x) = -\pi\,x^{-(\pi+1)}.
Como \pi>0 e x^{-(\pi+1)}>0, temos f'(x)<0 para x\ge1. Logo f é decrescente.
  • Portanto as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 4

Enunciado do teste da integral (intuição e uso):
Se f é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty), então a série \sum_{k=1}^{\infty} f(k) converge se, e somente se,
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge (isto é, tem valor finito). A ideia intuitiva é que a soma discreta \sum f(k) se comporta como a área sob a curva y=f(x).

Passo 5

Aplicando o teste da integral ao nosso caso: calcular
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\pi}}\,dx.
  • Para \pi\neq 1 a primitiva de x^{-\pi} é
\int x^{-\pi}\,dx = \frac{x^{1-\pi}}{1-\pi}.
  • Portanto
\int_{1}^{\infty} x^{-\pi}\,dx = \lim_{b\to\infty} \left[ \frac{x^{1-\pi}}{1-\pi} \right]_{x=1}^{x=b} = \lim_{b\to\infty} \frac{b^{1-\pi}-1}{1-\pi}.
  • Como \pi>1, temos 1-\pi<0, então b^{1-\pi}\to 0 quando b\to\infty. Assim o limite vale
\frac{0-1}{1-\pi} = \frac{1}{\pi-1},
que é um número finito (positivo).

Passo 6

Conclusão pelo teste da integral:
  • Como a integral \int_{1}^{\infty} x^{-\pi}\,dx converge (vale \dfrac{1}{\pi-1}), a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\pi}}
também converge.

Passo 7

Comentário útil para a prova (atalho):
Esta é uma série do tipo "série p" ou “p-series” \sum 1/k^{p}. A regra conhecida é:
  • \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^{p}} converge se, e somente se, p>1.
    Aqui p=\pi>1, então pela regra já podemos afirmar a convergência imediatamente. Use essa observação rápida em provas quando reconhecer uma p-series.

Resposta

A série converge.

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