Exercício 35. Verifique quais das séries abaixo convergem:
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. Informações dadas / observações imediatas:
- A soma é sobre
. - O termo geral é
. - O expoente é
(número real aproximadamente ).
Passo 2
O que significa “verificar convergência” aqui?
- Uma série
converge se a sequência das somas parciais
tem limite finito quando
.
- Para séries com termos positivos (como a nossa, pois
para todo ), uma técnica padrão é usar o “teste da integral” ou o "teste da série " — ambos dizem, de maneiras equivalentes para este caso, que o comportamento depende do expoente no denominador.
Passo 3
Verifique as hipóteses do teste da integral (precaução didática):
- Considere a função
-
é positiva para porque . -
é contínua para (potência de com expoente real positivo). - Para ver que
é decrescente, calcule a derivada:
Como
e
, temos
para
. Logo
é decrescente.
- Portanto as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 4
Enunciado do teste da integral (intuição e uso):
Se é positiva, contínua e decrescente em
, então a série
converge se, e somente se,
Se
converge (isto é, tem valor finito). A ideia intuitiva é que a soma discreta
se comporta como a área sob a curva
.
Passo 5
Aplicando o teste da integral ao nosso caso: calcular
- Para
a primitiva de é
- Portanto
- Como
, temos , então quando . Assim o limite vale
que é um número finito (positivo).
Passo 6
Conclusão pelo teste da integral:
- Como a integral
converge (vale ), a série
também converge.
Passo 7
Comentário útil para a prova (atalho):
Esta é uma série do tipo "série " ou “p-series”
. A regra conhecida é:
Esta é uma série do tipo "série
-
converge se, e somente se, .
Aqui, então pela regra já podemos afirmar a convergência imediatamente. Use essa observação rápida em provas quando reconhecer uma -series.
Resposta
A série converge.