Exercício 36

Um transformador com tomada central com 120 V na entrada tem uma relação de espiras de 4: 1. Qual é a tensão rms na metade superior do enrolamento secundário? E a tensão de pico? Qual é tensão rms na metade inferior do enrolamento secundário?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o que está listado:
  • Dado: tensão na entrada V_p = 120\\ \text{V}. (Vou assumir que esse valor é a tensão eficaz (rms), que é o uso padrão em tensão de rede.)
  • Dado: relação de espiras N_p:N_s = 4:1.
  • O enrolamento secundário tem tomada central (center tap), ou seja, o secundário é formado por duas metades com o mesmo número de espiras.
    O enunciado pede:
  1. Qual é a tensão rms na metade superior do enrolamento secundário?
  2. Qual é a tensão de pico (da metade superior)?
  3. Qual é a tensão rms na metade inferior do enrolamento secundário?

Passo 2

Fórmula básica do transformador (explicando o porquê): a tensão induzida em cada enrolamento é proporcional ao número de espiras desse enrolamento porque a fem induzida por volta é a mesma. Portanto vale
\frac{V_s}{V_p}=\frac{N_s}{N_p},
onde V_p é a tensão no primário (entrada), V_s é a tensão total no secundário (entre as extremidades do secundário), N_p é o número de espiras do primário e N_s o número de espiras do secundário. Essa relação permite calcular a tensão total do secundário a partir da relação de espiras.

Passo 3

Aplicando a relação de espiras dada N_p:N_s=4:1 na fórmula:
V_s = V_p\cdot\frac{N_s}{N_p} = 120\cdot\frac{1}{4}.
Calculando,
V_s = 120\cdot\frac{1}{4}=30\\ \text{V (rms)}.
Comentário didático: isso significa que entre as duas extremidades do secundário há 30\\ \text{V} eficazes.

Passo 4

Agora considerar a tomada central: como o secundário é dividido ao meio (duas metades com igual número de espiras), a tensão entre a metade superior e o ponto médio (centro) é metade da tensão total do secundário. Em símbolos:
V_{\text{metade}}=\frac{V_s}{2}.
Substituindo o valor encontrado:
V_{\text{metade}}=\frac{30}{2}=15\\ \text{V (rms)}.
Explicação simples: cada metade tem metade das espiras, então cada metade gera metade da tensão rms.

Passo 5

Converter tensão rms para tensão de pico (explicando a relação): para uma onda senoidal pura a relação entre valor eficaz (rms) e valor de pico é
V_{\text{rms}}=\frac{V_{\text{p}}}{\sqrt{2}},
onde V_{\text{p}} é a tensão de pico absoluta (amplitude). Invertendo:
V_{\text{p}}=V_{\text{rms}}\sqrt{2}.
Aplicando à metade do secundário:
V_{\text{p,metade}}=15\sqrt{2}\\ \text{V}.
Fazendo a aproximação numérica (usando \sqrt{2}\approx1,4142):
V_{\text{p,metade}}\approx 15\cdot1,4142\approx 21,21\\ \text{V}.

Passo 6

Tensão na metade inferior: por simetria do enrolamento com tomada central, a metade inferior tem exatamente os mesmos números de espiras e, portanto, a mesma tensão rms que a metade superior. Assim,
V_{\text{metade inferior}}=15\\ \text{V (rms)}.
Observação extra e útil para prova: as duas metades estão em oposição de fase entre si (ou seja, as tensões extremidade–centro têm polaridades opostas instantaneamente), por isso se medir entre as duas extremidades obtém-se a tensão total 30\\ \text{V rms}.

Resposta

Tensão rms na metade superior: 15\\ \text{V}
Tensão de pico na metade superior: 15\sqrt{2}\\ \text{V}\approx 21,21\\ \text{V}
Tensão rms na metade inferior: 15\\ \text{V}

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