Exercício 36 (Três planos) Considerem-se os planos com equações cartesianas \left(P_{1}\right): x+2 y=5 e \left(P_{2}\right): x+y+z=3.
36.1 Verificar que os planos \left(P_{1}\right) e \left(P_{2}\right) não são paralelos. Determinar uma representação paramétrica da reta (R), interseção dos planos \left(P_{1}\right) e \left(P_{2}\right).
36.2 Determinar uma equação geral do plano \left(P_{3}\right) perpendicular à reta (R) do item anterior e que contém o ponto A(1 ; 0 ;-1).
36.3 Mostrar que os três planos \left(P_{1}\right), \left(P_{2}\right), ( P_{3} ) são concorrentes.
36.4 Determinar as coordenadas do ponto B, interseção dos planos \left(P_{1}\right), \left(P_{2}\right),\left(P_{3}\right).
Passo 1
O enunciado dá dois planos \left(P_{1}\right):x+2y=5 e \left(P_{2}\right):x+y+z=3,
pede em 36.1 verificar que não são paralelos e obter a reta R=P_{1}\cap P_{2} em forma paramétrica; em 36.2 achar a equação geral do plano \left(P_{3}\right) que é perpendicular a R e passa por A(1,0,-1); em 36.3 mostrar que P_{1},P_{2},P_{3} são concorrentes; em 36.4 encontrar as coordenadas do ponto B=P_{1}\cap P_{2}\cap P_{3}. Para isso vamos usar geometria analítica de planos e retas no \mathbb R^3.
Passo 2
Para ver que P_{1} e P_{2} não são paralelos comparamos seus vetores normais n_{1}=(1,2,0) e n_{2}=(1,1,1). Eles não são múltiplos um do outro, logo os planos não são paralelos.
A reta de interseção R tem direção ortogonal a ambos os normais, dada pelo produto vetorial:
Para obter uma forma paramétrica, escolhemos um parâmetro t. Seja por exemplo y=t.
De x+2y=5 vem x=5-2t.
De x+y+z=3 segue
(5-2t)+t+z=3 \quad\Longrightarrow\quad z=t-2.
Assim
R:\;\bigl(x,y,z\bigr) =\bigl(5-2t,\;t,\;t-2\bigr),\quad t\in\mathbb R.
Passo 3
Queremos o plano \left(P_{3}\right) perpendicular a R, logo seu vetor normal pode ser escolhido igual à direção de R, isto é n_3 = ( -2,1,1). Como P_{3} deve conter A(1,0,-1), sua equação satisfaz
Para mostrar que P_{1},P_{2},P_{3} são concorrentes basta ver que a reta R intersecta P_{3} num ponto único. Substituímos a parametrização de R em \;2x - y - z - 3 = 0: