Exercício 36 (Três planos) Considerem-se os planos com equações cartesianas \left(P_{1}\right): x+2 y=5 e \left(P_{2}\right): x+y+z=3.
36.1 Verificar que os planos \left(P_{1}\right) e \left(P_{2}\right) não são paralelos. Determinar uma representação paramétrica da reta (R), interseção dos planos \left(P_{1}\right) e \left(P_{2}\right).
36.2 Determinar uma equação geral do plano \left(P_{3}\right) perpendicular à reta (R) do item anterior e que contém o ponto
A(1 ; 0 ;-1).
36.3 Mostrar que os três planos \left(P_{1}\right), \left(P_{2}\right), ( P_{3} ) são concorrentes.
36.4 Determinar as coordenadas do ponto B, interseção dos planos \left(P_{1}\right), \left(P_{2}\right),\left(P_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá dois planos \left(P_{1}\right):x+2y=5 e \left(P_{2}\right):x+y+z=3,
pede em 36.1 verificar que não são paralelos e obter a reta R=P_{1}\cap P_{2} em forma paramétrica; em 36.2 achar a equação geral do plano \left(P_{3}\right) que é perpendicular a R e passa por A(1,0,-1); em 36.3 mostrar que P_{1},P_{2},P_{3} são concorrentes; em 36.4 encontrar as coordenadas do ponto B=P_{1}\cap P_{2}\cap P_{3}. Para isso vamos usar geometria analítica de planos e retas no \mathbb R^3.

Passo 2

Para ver que P_{1} e P_{2} não são paralelos comparamos seus vetores normais n_{1}=(1,2,0) e n_{2}=(1,1,1). Eles não são múltiplos um do outro, logo os planos não são paralelos.
A reta de interseção R tem direção ortogonal a ambos os normais, dada pelo produto vetorial:
u \;=\; n_1 \times n_2 \;=\; \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} =(2\cdot1-0\cdot1)\,\mathbf i- (1\cdot1-0\cdot1)\,\mathbf j+ (1\cdot1-2\cdot1)\,\mathbf k =(2,-1,-1).
Para obter uma forma paramétrica, escolhemos um parâmetro t. Seja por exemplo y=t.
De x+2y=5 vem x=5-2t.
De x+y+z=3 segue
(5-2t)+t+z=3 \quad\Longrightarrow\quad z=t-2.
Assim
R:\;\bigl(x,y,z\bigr) =\bigl(5-2t,\;t,\;t-2\bigr),\quad t\in\mathbb R.

Passo 3

Queremos o plano \left(P_{3}\right) perpendicular a R, logo seu vetor normal pode ser escolhido igual à direção de R, isto é n_3 = ( -2,1,1). Como P_{3} deve conter A(1,0,-1), sua equação satisfaz
-2\,(x-1)+1\,(y-0)+1\,(z+1)=0.
Distribuindo e simplificando obtemos
-2x+2+y+z+1=0 \quad\Longrightarrow\quad -2x+y+z+3=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x-y-z-3=0.

Passo 4

Para mostrar que P_{1},P_{2},P_{3} são concorrentes basta ver que a reta R intersecta P_{3} num ponto único. Substituímos a parametrização de R em \;2x - y - z - 3 = 0:
2(5-2t)-t-(t-2)-3=0 \;\Longrightarrow\; 10-4t-t-t+2-3=0 \;\Longrightarrow\; -6t+9=0 \;\Longrightarrow\; t=\tfrac{9}{6}=\tfrac{3}{2}.
Logo o ponto de interseção é
B=\bigl(5-2\cdot\tfrac{3}{2},\;\tfrac{3}{2},\;\tfrac{3}{2}-2\bigr) =\bigl(2,\;\tfrac{3}{2},\;-\tfrac{1}{2}\bigr).
Como B está em R\subset P_{1}\cap P_{2} e também em P_{3}, segue que todos os três planos são concorrentes em B.

Resposta

36.1 A reta R é
(x,y,z)=(5-2t,\;t,\;t-2),\quad t\in\mathbb R.
36.2 A equação geral do plano \left(P_{3}\right) é
2x - y - z - 3 = 0.
36.3 Os três planos são concorrentes (intersectam-se em um ponto).
36.4 O ponto de interseção é
B=\Bigl(2,\;\tfrac{3}{2},\;-\tfrac{1}{2}\Bigr).

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