Exercício 37. Calcular f^{\prime}(x) nos seguintes casos:
f(x)=e^{x^{3}-\ln \left(x^{2}+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{x^{3}-\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)}.
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia aplicada à função exponencial e a derivada do logaritmo.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=x^{3}-\ln\bigl(x^{2}+1\bigr),
de modo que f(x)=e^{u(x)}.

Passo 3

Calculamos u'(x). Para isso,
– a derivada de x^{3} é 3x^{2};
– a derivada de \ln\bigl(x^{2}+1\bigr) é
\frac{d}{dx}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) =\frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2x =\frac{2x}{x^{2}+1}.
Logo,
u'(x)=3x^{2}-\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia à exponencial, temos
f'(x) =e^{u(x)}\cdot u'(x) =e^{x^{3}-\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)}\Bigl(3x^{2}-\frac{2x}{x^{2}+1}\Bigr).

Passo 5

Podemos notar que
e^{x^{3}-\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)} =\frac{e^{x^{3}}}{x^{2}+1},
então uma forma simplificada é
f'(x) =\frac{e^{x^{3}}}{x^{2}+1}\Bigl(3x^{2}-\frac{2x}{x^{2}+1}\Bigr) =\frac{e^{x^{3}}\bigl(3x^{2}(x^{2}+1)-2x\bigr)}{(x^{2}+1)^{2}}.

Resposta

f'(x) =e^{x^{3}-\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)}\Bigl(3x^{2}-\frac{2x}{x^{2}+1}\Bigr).

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