Exercício 37. Calcular f^{\prime}(x) nos seguintes casos:
f(x)=e^{2 x} \ln \left(x \operatorname{sen}(x)+\frac{e^{-x}}{x^{5}+1}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=e^{2x}\,\ln\!\Bigl(x\sin x+\frac{e^{-x}}{x^{5}+1}\Bigr)
e pede f'(x). O conteúdo envolve regra do produto e regra da cadeia para derivada de logaritmo natural.

Passo 2

Para calcular f'(x), aplicamos a regra do produto a
f(x)=u(x)\,v(x)
com u(x)=e^{2x} e v(x)=\ln\!\bigl(g(x)\bigr), onde
g(x)=x\sin x+\frac{e^{-x}}{x^{5}+1}\,.
A regra do produto diz
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)\,.

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x)=e^{2x}, pela regra da cadeia temos
u'(x)=(e^{2x})'=2\,e^{2x}\,.
Logo a primeira parcela de f'(x) é
u'(x)\,v(x)=2\,e^{2x}\,\ln\!\bigl(g(x)\bigr)\,.

Passo 4

Agora precisamos de v'(x), onde
v(x)=\ln\!\bigl(g(x)\bigr).
Pela derivada do logaritmo natural vale
v'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.

Passo 5

Vamos achar g'(x) para
g(x)=x\sin x+\frac{e^{-x}}{x^{5}+1}.
  1. Derivada de x\sin x:
(x\sin x)'=\sin x + x\cos x.
  1. Derivada de \displaystyle \frac{e^{-x}}{x^{5}+1}. Escrevamos como produto
h(x)=e^{-x}\,(x^{5}+1)^{-1}.
Pela regra do produto e da cadeia:
h'(x)=(e^{-x})'\,(x^{5}+1)^{-1} + e^{-x}\,\bigl((x^{5}+1)^{-1}\bigr)'.
Calculamos separadamente:
(e^{-x})'=-e^{-x}, \qquad \bigl((x^{5}+1)^{-1}\bigr)'=-1\cdot(x^{5}+1)^{-2}\cdot5x^{4}=-\frac{5x^{4}}{(x^{5}+1)^{2}}.
Portanto
h'(x)=-\frac{e^{-x}}{x^{5}+1} -\frac{5x^{4}\,e^{-x}}{(x^{5}+1)^{2}}.
Somando as duas partes, obtemos
g'(x)=\sin x + x\cos x -\frac{e^{-x}}{x^{5}+1} -\frac{5x^{4}\,e^{-x}}{(x^{5}+1)^{2}}.

Passo 6

Substituindo em v'(x)=g'(x)/g(x) e depois em
f'(x)=2\,e^{2x}\ln\!\bigl(g(x)\bigr) +e^{2x}\,\frac{g'(x)}{g(x)},
onde g(x) e g'(x) são os obtidos nos passos anteriores.

Resposta

f'(x) =2\,e^{2x}\,\ln\!\Bigl(x\sin x+\frac{e^{-x}}{x^{5}+1}\Bigr) +e^{2x}\, \frac{\displaystyle \sin x + x\cos x -\frac{e^{-x}}{x^{5}+1} -\frac{5x^{4}\,e^{-x}}{(x^{5}+1)^{2}} }{\displaystyle x\sin x+\frac{e^{-x}}{x^{5}+1}}\,.

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