Exercício 37. Calcular
nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede
. O conteúdo envolve regra do produto e regra da cadeia para derivada de logaritmo natural.
Passo 2
Para calcular
, aplicamos a regra do produto a
com
e
, onde
A regra do produto diz
Passo 3
Calculamos
. Como
, pela regra da cadeia temos
Logo a primeira parcela de
é
Passo 4
Agora precisamos de
, onde
Pela derivada do logaritmo natural vale
Passo 5
Vamos achar
para
- Derivada de
:
- Derivada de
. Escrevamos como produto
Pela regra do produto e da cadeia:
Calculamos separadamente:
Portanto
Somando as duas partes, obtemos
Passo 6
Substituindo em
e depois em
onde
e
são os obtidos nos passos anteriores.