Exercício 4.37 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{2} \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0^{+}}x^{2}\ln(x)
usando a Regra de L’Hospital. Aqui temos um produto do tipo 0^{+}\times(-\infty), pois quando x\to0^{+} temos x^{2}\to0 e \ln(x)\to-\infty. Para aplicar L’Hospital precisamos reescrever como uma forma de quociente que apresente uma indeterminação \tfrac{\infty}{\infty} ou \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Transformamos
x^{2}\ln(x)
num quociente, por exemplo
x^{2}\ln(x) =\frac{\ln(x)}{1/x^{2}}.
Quando x\to0^{+}, o numerador \ln(x)\to-\infty e o denominador 1/x^{2}\to+\infty, caracterizando a indeterminação \tfrac{-\infty}{+\infty}.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hospital, derivando numerador e denominador em relação a x:
– Derivada do numerador \ln(x) é \tfrac{1}{x}.
– Derivada do denominador 1/x^{2} é -2\,x^{-3}=-\tfrac{2}{x^{3}}.
Portanto, pela regra de L’Hospital,
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(x)}{1/x^{2}} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{\tfrac{1}{x}}{-\tfrac{2}{x^{3}}}.

Passo 4

Simplificamos o quociente:
\frac{\tfrac{1}{x}}{-\tfrac{2}{x^{3}}} =\frac{1}{x}\times\frac{x^{3}}{-2} =-\frac{x^{2}}{2}.
Logo
\lim_{x\to0^{+}}x^{2}\ln(x) =\lim_{x\to0^{+}}\Bigl(-\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr) =0.

Resposta

0

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