Exercício 4.37 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x)-1}{e^{x}-x-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{e^{x} - x - 1}
e sugere usar a Regra de L’Hospital para tratar a indeterminação. Vamos identificar a forma indeterminada e aplicar a regra.

Passo 2

Avaliar as expressões no numerador e denominador quando x \to 0: \cos(0) - 1 = 0 e^{0} - 0 - 1 = 0
Logo, temos a forma 0/0, o que autoriza usar L’Hospital.

Passo 3

Aplicando L’Hospital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador:
Numerador: \frac{d}{dx}[\cos(x)-1] = -\sin(x)
Denominador: \frac{d}{dx}[e^{x}-x-1] = e^{x}-1
Assim,
\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{e^{x} - x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{e^{x} - 1}.

Passo 4

Verificamos de novo a forma dessa nova fração quando x \to 0: o numerador -\sin(0) = 0 e o denominador e^{0} - 1 = 0. Ainda é 0/0, então aplicamos L’Hospital outra vez:
Derivada do numerador: \frac{d}{dx}[-\sin(x)] = -\cos(x)
Derivada do denominador: \frac{d}{dx}[e^{x}-1] = e^{x}
Logo,
\lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{e^{x} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos(x)}{e^{x}}.

Passo 5

Agora substituímos x = 0 sem gerar indeterminação:
\frac{-\cos(0)}{e^{0}} = \frac{-1}{1} = -1.
Portanto, o limite vale -1.

Resposta

-1

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