Exercício 4.37 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
Passo 1
O enunciado pede o limite
e sugere usar a Regra de L’Hospital para tratar a indeterminação. Vamos identificar a forma indeterminada e aplicar a regra.
Passo 2
Avaliar as expressões no numerador e denominador quando
:
Logo, temos a forma , o que autoriza usar L’Hospital.
Logo, temos a forma
Passo 3
Aplicando L’Hospital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador:
Numerador:
Denominador:
Assim,
Numerador:
Denominador:
Assim,
Passo 4
Verificamos de novo a forma dessa nova fração quando
: o numerador
e o denominador
. Ainda é
, então aplicamos L’Hospital outra vez:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Logo,
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Logo,
Passo 5
Agora substituímos
sem gerar indeterminação:
Portanto, o limite vale
.