Exercício 38. Calcule \iint_{D} 3 d x d y, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}+4 x \leq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} 3\,dx\,dy,
onde a região D é dada por
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}+4x \leq 0\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função a integrar é a constante 3.
  • A região D é descrita pela desigualdade x^{2}+y^{2}+4x \leq 0.
  • A pergunta é: calcular o valor numérico da integral dupla sobre essa região.

Passo 2

Identificar a forma geométrica da região D completando o quadrado em x. Vou transformar a expressão x^{2}+4x em uma soma de quadrados:
x^{2}+4x = (x+2)^{2}-4.
Substituindo na desigualdade:
(x+2)^{2}-4 + y^{2} \leq 0
\Rightarrow (x+2)^{2}+y^{2} \leq 4.
Portanto D é o disco centrado em (-2,0) com raio 2, isto é
D=\{(x,y)\mid (x+2)^{2}+y^{2}\leq 2^{2}\}.
Breve explicação do passo: completar o quadrado serve para reconhecer expressões do tipo x^{2}+bx como um quadrado (x+b/2)^2 menos uma constante; isso ajuda a identificar círculos/discos quando aparecem x^2+y^2+ termos lineares.

Passo 3

Trocar para coordenadas centradas no disco para simplificar a região. Faço a mudança de variáveis de translação
u = x+2,\qquad v = y.
Essa é uma translação rígida; a matriz Jacobiana é a identidade, então o determinante da Jacobiana vale 1 e o elemento de área não muda:
dx\,dy = du\,dv.
Sob essa mudança, a região D vira
D'=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\leq 4\},
ou seja, o disco centrado na origem de raio 2.

Passo 4

Converter para coordenadas polares em (u,v) para calcular a integral de forma direta. As coordenadas polares são
u = r\cos\theta,\qquad v = r\sin\theta,
com r\ge 0 e 0\le\theta<2\pi. O elemento de área em coordenadas polares é
du\,dv = r\,dr\,d\theta.
Os limites para o disco de raio 2 são 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 5

Agora escrevo a integral na nova variável e calculo passo a passo:
\iint_{D} 3\,dx\,dy = \iint_{D'} 3\,du\,dv = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} 3\; r\,dr\,d\theta.
Calculo a integral interna em r:
\int_{0}^{2} 3r\,dr = 3\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = 3\cdot\frac{4}{2}=3\cdot 2=6.
Agora a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} 6\,d\theta = 6\cdot(2\pi)=12\pi.

Passo 6

Verificação rápida (método alternativo e mais direto): como a integral de uma constante sobre uma região vale a constante multiplicada pela área da região, e a área de um disco de raio 2 é \pi\cdot 2^{2}=4\pi, temos
\iint_{D} 3\,dx\,dy = 3\cdot\text{Area}(D)=3\cdot 4\pi=12\pi,
o que confirma o cálculo por coordenadas polares.

Resposta

12\pi