Exercício 38. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde a região
é dada por
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função a integrar é a constante
. - A região
é descrita pela desigualdade . - A pergunta é: calcular o valor numérico da integral dupla sobre essa região.
Passo 2
Identificar a forma geométrica da região
completando o quadrado em
. Vou transformar a expressão
em uma soma de quadrados:
Substituindo na desigualdade:
Portanto
é o disco centrado em
com raio
, isto é
Breve explicação do passo: completar o quadrado serve para reconhecer expressões do tipo
como um quadrado
menos uma constante; isso ajuda a identificar círculos/discos quando aparecem
termos lineares.
Passo 3
Trocar para coordenadas centradas no disco para simplificar a região. Faço a mudança de variáveis de translação
Essa é uma translação rígida; a matriz Jacobiana é a identidade, então o determinante da Jacobiana vale
e o elemento de área não muda:
Sob essa mudança, a região
vira
ou seja, o disco centrado na origem de raio
.
Passo 4
Converter para coordenadas polares em
para calcular a integral de forma direta. As coordenadas polares são
com
e
. O elemento de área em coordenadas polares é
Os limites para o disco de raio
são
e
.
Passo 5
Agora escrevo a integral na nova variável e calculo passo a passo:
Calculo a integral interna em
:
Agora a integral em
:
Passo 6
Verificação rápida (método alternativo e mais direto): como a integral de uma constante sobre uma região vale a constante multiplicada pela área da região, e a área de um disco de raio
é
, temos
o que confirma o cálculo por coordenadas polares.