Exercício 38. Considere a função f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!};
a) Verifique que f(x) está definida para todo x \in \mathbb{R};
b) Verifique que f^{\prime}(x)=f(x). Conclua que f(x)=e^{x} (Dica: derive o quociente \left.\frac{f(x)}{e^{x}}\right) ;
c) As séries \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} e \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!} convergem (neste momento, esta afirmação é uma consequência direta do que já foi feito). Determine seus valores;
d) Determine as expansões em série para \operatorname{senh}(x) e \operatorname{cosh} (x). Analise a paridade destas funções e como isso se reflete na sua expansão em série;

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} e pede quatro coisas:
a) Mostrar que f(x) está definida para todo x\in\mathbb{R} (ou seja, que a série converge para todo real).
b) Mostrar que f'(x)=f(x) e concluir que f(x)=e^{x} (a dica sugere estudar \displaystyle\frac{f(x)}{e^{x}}).
c) Mostrar que as séries \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} e \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!} convergem e determinar seus valores.
d) Determinar as séries de potência (expansões) para \operatorname{senh}(x) e \operatorname{cosh}(x), analisar a paridade de cada função e como essa paridade aparece nas séries.
Informações relevantes dadas:
  • A definição explícita da função f como série de potências \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
  • A sugestão de usar o quociente \displaystyle\frac{f(x)}{e^{x}} para concluir que f(x)=e^{x}.

Passo 2

Queremos provar que \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} converge para todo x\in\mathbb{R}. Vou usar o teste da razão (um jeito padrão e direto para séries de potências).
O teste da razão compara os termos consecutivos da série. Para a série com termo geral a_{n}=\dfrac{x^{n}}{n!} calculamos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{x^n}{n!}}\right| = \left|\frac{x}{n+1}\right|.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x}{n+1}\right| = 0
para todo x\in\mathbb{R}. Pelo teste da razão, se esse limite é menor que 1 (aqui é 0), a série converge absolutamente. Concluímos que, para qualquer x\in\mathbb{R}, a série que define f(x) converge.

Passo 3

Explicando um pouco mais a ideia para você aplicar em prova: a razão para usar o teste da razão é que n! cresce muito rápido, então os termos \dfrac{x^n}{n!} vão para zero rapidamente e a razão entre termos consecutivos tende a zero, o que garante convergência absoluta. Assim, a série de potências tem raio de convergência infinito — ou seja, é válida para todo real.

Passo 4

Agora vamos derivar termo a termo. Há um teorema simples: uma série de potências pode ser diferenciada termo a termo dentro do seu raio de convergência; como aqui o raio é infinito, podemos diferenciar termo a termo para todo x\in\mathbb{R}.
Tomando a derivada termo a termo de
\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},
os termos constantes ( n=0) desaparecem e para n\ge1 temos
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n}}{n!}\right)=\frac{n x^{n-1}}{n!}=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}.
Logo a série derivada é
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}.
Fazendo a troca de índice k=n-1 (então k vai de 0 a \infty) obtemos
f'(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}=f(x).
Portanto provamos que \displaystyle f'(x)=f(x) para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Agora usamos a dica para concluir f(x)=e^{x}. Considere a função
g(x)=\frac{f(x)}{e^{x}}.
Calculamos a derivada de g (regra do quociente ou produto): como f'(x)=f(x) e \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, temos
g'(x)=\frac{f'(x)e^{x}-f(x)e^{x}}{e^{2x}}=\frac{(f'(x)-f(x))e^{x}}{e^{2x}}=\frac{f'(x)-f(x)}{e^{x}}.
Mas já vimos que f'(x)-f(x)=0. Logo g'(x)=0 em todo \mathbb{R}, isto é, g é constante. Para determinar essa constante avaliamos em x=0:
f(0)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{0^{n}}{n!}=\frac{0^{0}}{0!}+\sum_{n=1}^{\infty}0=1,
e e^{0}=1. Logo g(0)=\dfrac{f(0)}{e^{0}}=1. Portanto g(x)\equiv1 para todo x, e assim
f(x)=e^{x}\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Comentário pedagógico: aqui usamos que a função exponencial e^{x} é a solução bem conhecida da EDO y'=y com y(0)=1. Mostramos que f satisfaz a mesma EDO com a mesma condição inicial, logo coincide com e^{x}.

Passo 6

Agora a letra (c). As séries pedidas são casos particulares de f(x): para x=1 e x=-1.
Como já provamos que a série converge para todo x, ela converge em x=1 e em x=-1. Usando que f(x)=e^{x} obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=f(1)=e^{1}=e
e
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}=f(-1)=e^{-1}=\frac{1}{e}.

Passo 7

Agora a letra (d). Primeiro lembrando as definições (forma usual):
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\qquad \operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Substituímos as séries de e^{x} e e^{-x}:
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},\qquad e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{n!}.

Passo 8

Vamos formar \operatorname{senh}(x) e \operatorname{cosh}(x) a partir dessas somas.
Para \operatorname{cosh}(x):
\operatorname{cosh}(x)=\frac{1}{2}\Bigg(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{n!}\Bigg) =\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1+(-1)^{n})x^{n}}{n!}.
Observe que 1+(-1)^{n}=0 quando n é ímpar e =2 quando n é par. Assim só permanecem os termos de índice par. Escrevendo n=2k obtemos
\operatorname{cosh}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{(2k)!}.
Para \operatorname{senh}(x):
\operatorname{senh}(x)=\frac{1}{2}\Bigg(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{n!}\Bigg) =\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1-(-1)^{n})x^{n}}{n!}.
Agora 1-(-1)^{n}=0 quando n é par e =2 quando n é ímpar. Assim só permanecem os termos de índice ímpar. Escrevendo n=2k+1 obtemos
\operatorname{senh}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Passo 9

Análise de paridade e observações finais (como isso aparece nas séries):
  • \operatorname{cosh}(x) é uma função par porque \operatorname{cosh}(-x)=\operatorname{cosh}(x). Isso se reflete na série por conter apenas potências pares \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{(2k)!}.
  • \operatorname{senh}(x) é ímpar porque \operatorname{senh}(-x)=-\operatorname{senh}(x). Isso se reflete na série por conter apenas potências ímpares \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Exemplo rápido para lembrar: os primeiros termos das séries são
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots,
\operatorname{cosh}(x)=1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots,
\operatorname{senh}(x)=x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\cdots.
Essas formas são úteis na prova e em aproximações rápidas.

Resposta

a) A série converge para todo x\in\mathbb{R} (raio de convergência infinito), então f(x) está definida para todo x\in\mathbb{R}.\n
b) f'(x)=f(x) e, com a condição inicial f(0)=1, concluímos f(x)=e^{x}.\n
c) \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e \n \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}=\frac{1}{e}.\n
d) \displaystyle \operatorname{senh}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} (ímpar), \displaystyle \operatorname{cosh}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{(2k)!} (par).

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