Exercício 39. Calcular a derivada das seguintes funções :
f(x)=\operatorname{arctg}\left(\mathrm{e}^{3 \mathrm{x}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\arctan\bigl(e^{3x}\bigr).
O conteúdo envolvido é regra da cadeia aplicada à derivada de \arctan(u) e à derivada da exponencial.

Passo 2

Primeiro, lembramos que, se g(u)=\arctan(u), então
g'(u)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Para f(x)=g\bigl(u(x)\bigr), a regra da cadeia diz
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\frac{1}{1+[u(x)]^{2}}\cdot u'(x).

Passo 3

Aqui u(x)=e^{3x}. Vamos calcular sua derivada:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}\bigr) =3e^{3x}.

Passo 4

Substituindo u(x)=e^{3x} e u'(x)=3e^{3x} na fórmula da regra da cadeia, obtemos
f'(x) =\frac{1}{1+\bigl(e^{3x}\bigr)^{2}}\cdot 3e^{3x} =\frac{3e^{3x}}{1+e^{6x}}.

Resposta

f'(x)=\frac{3e^{3x}}{1+e^{6x}}.

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