Exercício 39. Calcular a derivada das seguintes funções :
f(x)=\operatorname{tg}\left(\operatorname{sec} \left(\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}^{2}+\sqrt{\mathrm{x}}}+1\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\tan\bigl(\operatorname{sec}\bigl(x\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}+1\bigr)\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia aplicada sucessivamente: primeiro em \tan(u), depois em \operatorname{sec}(v), em seguida na multiplicação x\cdot A(x) e por fim na raiz \sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}.

Passo 2

Definimos
u(x)=\operatorname{sec}\bigl(v(x)\bigr), \quad v(x)=x\,A(x)+1, \quad A(x)=\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}.
Como \frac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u), pela regra da cadeia
f'(x) =\operatorname{sec}^{2}\bigl(u(x)\bigr)\;u'(x).

Passo 3

Agora derivamos u(x)=\operatorname{sec}(v(x)). Sabemos que \frac{d}{dv}\operatorname{sec}(v)=\operatorname{sec}(v)\tan(v). Logo
u'(x) =\operatorname{sec}\bigl(v(x)\bigr)\,\tan\bigl(v(x)\bigr)\;v'(x).

Passo 4

Precisamos de A'(x) em A(x)=\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}. Usamos \frac{d}{dx}\sqrt{g(x)}=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} com g(x)=x^{2}+\sqrt{x}.
g'(x)=2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad A'(x) =\frac{2x+\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}}.

Passo 5

Derivamos agora v(x)=x\,A(x)+1. Aplicando a regra do produto:
v'(x) =A(x)+x\,A'(x) =\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}} +\;x\;\frac{2x+\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}}.

Passo 6

Combinando tudo:
f'(x) =\operatorname{sec}^{2}\bigl(\operatorname{sec}(v(x))\bigr) \;\times\; \Bigl[\operatorname{sec}\bigl(v(x)\bigr)\tan\bigl(v(x)\bigr)\Bigr] \;\times\; \Bigl[\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}+x\,\frac{2x+\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}}\Bigr].
Substituindo v(x)=x\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}+1, fica a forma final abaixo.

Resposta

f'(x) =\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(\operatorname{sec}(x\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}+1)\bigr)\;\operatorname{sec}(x\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}+1)\;\tan(x\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}+1) \;\Bigl[\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}+x\,\frac{2x+\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}}\Bigr].

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