Exercício 40. Justifique o fato da série harmônica \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} divergir e da série alternada \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} convergir. Use o exercício anterior para calcular o valor da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} e mostrar que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1) 2^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  1. Justificar que a série harmônica \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} diverge.
  2. Justificar que a série alternada \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} converge.
  3. Usar o exercício anterior para calcular o valor da série alternada e mostrar a igualdade
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)2^{n+1}}.
Informações dadas (e presumidas do “exercício anterior”, conforme pedido): do exercício anterior vamos usar a expansão em série de potências da função logarítmica (desenvolvimento de Taylor / série de potência)
-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}\qquad\text{para }|x|<1,
ou, equivalente para \ln(1+x),
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}\qquad\text{para }-1<x\le 1.
Vou usar essas expressões quando for calcular o valor da série alternada. No Passo 2 começo as justificativas teóricas (sem resolver ainda).

Passo 2

Prova de divergência da série harmônica usando o Teste da Integral (explicação didática do teste).
O Teste da Integral diz o seguinte: se f:[1,\infty)\to\mathbb{R} é contínua, positiva e decrescente, então a série \sum_{n=1}^\infty f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge. Aqui escolhemos f(x)=1/x. Verificações:
  • f(x)=1/x é contínua e positiva em [1,\infty).
  • f'(x)=-1/x^{2}<0 para x>0, logo é decrescente.
    Portanto podemos aplicar o teste da integral a f.

Passo 3

Aplicação do Teste da Integral ao caso f(x)=1/x.
Calculemos a integral imprópria:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{t\to\infty}[\ln x]_{1}^{t}=\lim_{t\to\infty}\ln t-\ln 1=\lim_{t\to\infty}\ln t=+\infty.
A integral diverge, logo pela equivalência do teste da integral a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
diverge. Comentário prático: isso significa que as somas parciais crescem sem limite (crescem muito devagar, mas crescem).

Passo 4

Outra intuição — prova por comparação em blocos (método clássico de agrupamento), para fixar a ideia.
Agrupamos termos da série harmônica assim:
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
Em cada bloco de 2^{k} termos (começando no bloco com 2^{k} termos) cada termo é \ge \frac{1}{2^{k+1}}, então a soma do bloco é \ge 2^{k}\cdot\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}. Assim temos infinitos blocos cada um contribuindo pelo menos \tfrac{1}{2}, o que força divergência. É a mesma ideia que o Teste de Condensação de Cauchy aplicado a 1/n.

Passo 5

Prova de convergência da série alternada \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} pelo Teste de Leibniz (alternating series test) — explicando o teste.
O Teste de Leibniz diz: se (b_n) é uma sequência positiva, decrescente e com \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} b_n converge (essa convergência pode ser condicional). Aqui tomamos b_n=1/n. Verificações:
  • b_n>0 para todo n.
  • b_{n+1}=1/(n+1) < 1/n = b_n, então é decrescente.
  • \lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty} 1/n = 0.
    Logo, por Leibniz, a série alternada converge. Observação importante: é convergência condicional (a série dos valores absolutos diverge, pois é a harmônica).

Passo 6

Cálculo do valor da série alternada usando a série de potência de \ln(1+x) (a “ferramenta” do exercício anterior).
Do exercício anterior (ou do desenvolvimento em série de Taylor), temos para -1<x\le 1:
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}.
Este é um resultado padrão: ele se obtém integrando a série geométrica \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n=(1+x)^{-1} (ou derivando/integrando com justificativa de raio de convergência), e é válido em particular no ponto x=1 por convergência condicional da série no ponto extremo. Tomando x=1 obtemos
\ln(1+1)=\ln 2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}.
Portanto o valor da série alternada é \ln 2. Comentário intuitivo: a série alternada converge para \ln 2 e as somas parciais oscilam para cima e para baixo em torno desse valor, aproximando-o cada vez melhor.

Passo 7

Análise da igualdade proposta com \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}.
Agora calculo explicitamente a soma da série do lado direito para ver se coincide com \ln 2. Reescrevo o índice: colocando k=n+1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k2^{k}}.
Separando o primeiro termo da série padrão \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k2^{k}},
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k2^{k}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k2^{k}}-\frac{1}{1\cdot 2^{1}}.
Usando a série de potências \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k}=-\ln(1-x) válida para |x|<1 e que em x=\tfrac12
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k2^{k}}=-\ln\!\left(1-\tfrac12\right)=-\ln\!\left(\tfrac12\right)=\ln 2,
seguimos que
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k2^{k}}=\ln 2-\frac{1}{2}.
Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}=\ln 2-\frac{1}{2}.

Passo 8

Conclusão sobre a igualdade pedida.
Comparando os resultados:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln 2,
enquanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}=\ln 2-\frac{1}{2}.
Logo a igualdade solicitada no enunciado
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}
não é verdadeira: os lados têm somas diferentes (diferença de \tfrac{1}{2}). Provavelmente houve um pequeno deslize no enunciado: a igualdade correta que costuma aparecer é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n2^{n}}=\ln 2,
ou, se a outra série começar em n=0,
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k2^{k}}=\ln 2,
o que coincide com o valor da série alternada. Resumindo: com o índice apropriado (começando em 0 ou usando 1/(n2^n)) a igualdade com \ln 2 ocorre; com a formulação dada (índice iniciando em n=1 e denominador (n+1)2^{n+1}) o valor é \ln 2-\tfrac12, diferente de \ln 2.

Resposta

A série harmônica \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge.\nA série alternada \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} converge (Teste de Leibniz) e seu valor é \displaystyle \ln 2.\nA igualdade proposta é falsa: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}=\ln 2-\tfrac{1}{2}, porém a identidade correta com soma \ln 2 é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n2^{n}}=\ln 2.

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