Exercício 40. Justifique o fato da série harmônica
divergir e da série alternada
convergir. Use o exercício anterior para calcular o valor da série
e mostrar que
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- Justificar que a série harmônica
diverge. - Justificar que a série alternada
converge. - Usar o exercício anterior para calcular o valor da série alternada e mostrar a igualdade
Informações dadas (e presumidas do “exercício anterior”, conforme pedido): do exercício anterior vamos usar a expansão em série de potências da função logarítmica (desenvolvimento de Taylor / série de potência)
ou, equivalente para
,
Vou usar essas expressões quando for calcular o valor da série alternada. No Passo 2 começo as justificativas teóricas (sem resolver ainda).
Passo 2
Prova de divergência da série harmônica usando o Teste da Integral (explicação didática do teste).
O Teste da Integral diz o seguinte: se é contínua, positiva e decrescente, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge. Aqui escolhemos
. Verificações:
O Teste da Integral diz o seguinte: se
-
é contínua e positiva em . -
para , logo é decrescente.
Portanto podemos aplicar o teste da integral a.
Passo 3
Aplicação do Teste da Integral ao caso
.
Calculemos a integral imprópria:
Calculemos a integral imprópria:
A integral diverge, logo pela equivalência do teste da integral a série
diverge. Comentário prático: isso significa que as somas parciais crescem sem limite (crescem muito devagar, mas crescem).
Passo 4
Outra intuição — prova por comparação em blocos (método clássico de agrupamento), para fixar a ideia.
Agrupamos termos da série harmônica assim:
Agrupamos termos da série harmônica assim:
Em cada bloco de
termos (começando no bloco com
termos) cada termo é
, então a soma do bloco é
. Assim temos infinitos blocos cada um contribuindo pelo menos
, o que força divergência. É a mesma ideia que o Teste de Condensação de Cauchy aplicado a
.
Passo 5
Prova de convergência da série alternada
pelo Teste de Leibniz (alternating series test) — explicando o teste.
O Teste de Leibniz diz: se é uma sequência positiva, decrescente e com
, então a série
converge (essa convergência pode ser condicional). Aqui tomamos
. Verificações:
O Teste de Leibniz diz: se
-
para todo . -
, então é decrescente. -
.
Logo, por Leibniz, a série alternada converge. Observação importante: é convergência condicional (a série dos valores absolutos diverge, pois é a harmônica).
Passo 6
Cálculo do valor da série alternada usando a série de potência de
(a “ferramenta” do exercício anterior).
Do exercício anterior (ou do desenvolvimento em série de Taylor), temos para :
Do exercício anterior (ou do desenvolvimento em série de Taylor), temos para
Este é um resultado padrão: ele se obtém integrando a série geométrica
(ou derivando/integrando com justificativa de raio de convergência), e é válido em particular no ponto
por convergência condicional da série no ponto extremo. Tomando
obtemos
Portanto o valor da série alternada é
. Comentário intuitivo: a série alternada converge para
e as somas parciais oscilam para cima e para baixo em torno desse valor, aproximando-o cada vez melhor.
Passo 7
Análise da igualdade proposta com
.
Agora calculo explicitamente a soma da série do lado direito para ver se coincide com . Reescrevo o índice: colocando
obtemos
Agora calculo explicitamente a soma da série do lado direito para ver se coincide com
Separando o primeiro termo da série padrão
,
Usando a série de potências
válida para
e que em
dá
seguimos que
Portanto
Passo 8
Conclusão sobre a igualdade pedida.
Comparando os resultados:
Comparando os resultados:
enquanto
Logo a igualdade solicitada no enunciado
não é verdadeira: os lados têm somas diferentes (diferença de
). Provavelmente houve um pequeno deslize no enunciado: a igualdade correta que costuma aparecer é
ou, se a outra série começar em
,
o que coincide com o valor da série alternada. Resumindo: com o índice apropriado (começando em
ou usando
) a igualdade com
ocorre; com a formulação dada (índice iniciando em
e denominador
) o valor é
, diferente de
.
Resposta
A série harmônica
diverge.\nA série alternada
converge (Teste de Leibniz) e seu valor é
.\nA igualdade proposta é falsa:
, porém a identidade correta com soma
é
.