Exercício 4.40 Primeiramente, tente calcular usando a Regra de L’Hospital (deixe as contas indicadas). Caso não seja possível, calcule utilizando outra técnica.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{e^{-1^{x}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0^{+}}\frac{x}{e^{-1/x}}
usando inicialmente a Regra de L’Hospital. Note que, quando x\to0^{+}, temos x\to0 e
e^{-1/x}\to e^{-\infty}=0,
logo é da forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Como é indeterminação 0/0, aplicamos a Regra de L’Hospital, isto é, diferenciamos numerador e denominador em relação a x.
  • Derivada do numerador x é 1.
  • Derivada do denominador e^{-1/x} é
\frac{d}{dx}e^{-1/x} = e^{-1/x}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(-1/x\bigr) = e^{-1/x}\cdot\frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Pela Regra de L’Hospital, o limite original passa a ser
\lim_{x\to0^{+}}\frac{x}{e^{-1/x}} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{\,e^{-1/x}\,(1/x^{2})\,} =\lim_{x\to0^{+}}x^{2}e^{1/x}.

Passo 4

Para avaliar
\lim_{x\to0^{+}}x^{2}e^{1/x},
note que, ao fazer t=1/x, quando x\to0^{+} temos t\to+\infty e
x^{2}e^{1/x}=\frac{e^{t}}{t^{2}}.
Sabemos que a exponencial e^{t} cresce muito mais rápido que qualquer potência de t, portanto
\frac{e^{t}}{t^{2}}\to+\infty \quad\text{quando }t\to+\infty.

Resposta

\lim_{x\to0^{+}}\frac{x}{e^{-1/x}}=+\infty.

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