Exercício 40 (Reta definida por vínculos) Determinar uma representação paramétrica da reta (R) que contém o ponto A(2 ; 3 ; 1), que é paralela ao plano (P): 2 x-5 y+ 4 z=1 e que é concorrente com a reta (S):\left\{\begin{array}{l}2 x-y=-1 \\\ z=0 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede uma representação paramétrica da reta R\) que: 1. Passa por \(A(2,3,1)\). 2. É paralela ao plano \(P\colon 2x-5y+4z=1\). 3. Intersecta a reta \(S\colon\begin{cases}2x-y=-1,\z=0.\end{cases}
Para isso, vamos assumir uma diretriz \vec d=(a,b,c), impor a condição de paralelismo ao plano (i.e.\ \vec d ortogonal ao normal de P), e depois exigir que exista um parâmetro t_0 tal que o ponto
(2+at_0,\;3+bt_0,\;1+ct_0)
satisfaça as equações de S.

Passo 2

Condição de paralelismo a P: o vetor diretor \vec d=(a,b,c) deve satisfazer
\vec d\cdot\vec n=0,\quad\vec n=(2,-5,4),
isto é,
2a-5b+4c=0.

Passo 3

Parametrizamos R como
x=2+at,\quad y=3+bt,\quad z=1+ct.
Para intersectar S, precisamos de um t_0 em que z=0, logo
1+c\,t_0=0\quad\Longrightarrow\quad t_0=-\frac1c.

Passo 4

Esse mesmo ponto deve satisfazer 2x-y=-1. Substituindo x=2+at_0 e y=3+bt_0 em
2x-y=-1
obtemos
2(2+at_0)-(3+bt_0)=-1 \quad\Longrightarrow\quad (2a-b)\,t_0+1=-1 \quad\Longrightarrow\quad (2a-b)\,t_0=-2.
Como t_0=-1/c, isso vira
(2a-b)\Bigl(-\frac1c\Bigr)=-2 \quad\Longrightarrow\quad b-2a=-2c.

Passo 5

Agora temos o sistema homogêneo para (a,b,c)\): \[\begin{cases} 2a-5b+4c=0,\\\ b-2a=-2c. \end{cases}
Da segunda equação vem b=2a-2c\]. Substituindo na primeira: \[2a-5(2a-2c)+4c=0 \quad\Longrightarrow\quad -8a+14c=0 \quad\Longrightarrow\quad 4a=7c.\] Logo \(c=\tfrac{4}{7}a e b=2a-2c=2a-\tfrac{8}{7}a=\tfrac{6}{7}a. Tomando a=7 para eliminar frações, temos
(a,b,c)=(7,6,4).

Passo 6

Portanto uma escolha conveniente de vetor diretor é \vec d=(7,6,4). A representação paramétrica de R é
\boxed{x=2+7t,\quad y=3+6t,\quad z=1+4t.}

Resposta

A reta R pode ser escrita como
\bigl(x,y,z\bigr)=(2,3,1)+t\,(7,6,4).

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