Exercício 41. Calcule a derivada das seguintes funções (use diferenciação logarítmica):
f(x)=x^{2} e^{\sqrt{2 x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^{2}e^{\sqrt{2x}}
usando diferenciação logarítmica. Vamos usar a ideia de tomar o logaritmo natural de f(x), diferenciar implicitamente e depois voltar a expressar f'(x) em termos de x.

Passo 2

Defina y=f(x). Então
\ln y = \ln\bigl(x^{2}e^{\sqrt{2x}}\bigr).
Pela propriedade de logaritmos, isso se separa em
\ln y = \ln\bigl(x^{2}\bigr) + \ln\bigl(e^{\sqrt{2x}}\bigr) = 2\ln x + \sqrt{2x}.

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x, lembrando que \frac{d}{dx}(\ln y)=\frac{y'}{y}:
\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\bigl(2\ln x\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{2x}\bigr) = 2\cdot\frac{1}{x} + \frac{1}{2\sqrt{2x}}\cdot2 = \frac{2}{x} + \frac{1}{\sqrt{2x}}.

Passo 4

Isolando y' e lembrando que y=x^{2}e^{\sqrt{2x}}, obtemos
y' = y\Bigl(\frac{2}{x} + \frac{1}{\sqrt{2x}}\Bigr) = x^{2}e^{\sqrt{2x}}\Bigl(\frac{2}{x} + \frac{1}{\sqrt{2x}}\Bigr).

Resposta

f'(x)=x^{2}e^{\sqrt{2x}}\Bigl(\frac{2}{x} + \frac{1}{\sqrt{2x}}\Bigr).

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