Exercício 41 (Reta perpendicular comum) Nos casos seguintes, determinar equações paramétricas para a reta (R) perpendicular comum às retas \left(R_{1}\right) e \left(R_{2}\right). Em seguida, determinar a distância entre as retas \left(R_{1}\right) \mathrm{e}\left(R_{2}\right).
41.1 A reta ( R_{1} ) é dada pela representação paramétrica
O enunciado pede, para as retas \,(R_{1}) e \,(R_{2}) em \mathbb{R}^3, (a) a reta (R) que é perpendicular a ambas e (b) a distância entre (R_{1}) e (R_{2}).
Conteúdo: geometria analítica no espaço—retas reversas (skew) e sua reta perpendicular comum, além da fórmula da distância mínima entre retas.
Passo 2
Identificamos em (R_{1})\) um ponto e o vetor diretor, e em \((R_{2})\) fazemos o mesmo:
– Em \((R_{1})\):
\[P_{1}=(3,1,2),\quad \vec v_{1}=(2,1,-1).
A reta perpendicular comum terá direção paralela a
\vec w = \vec v_{1}\times\vec v_{2} =(2,1,-1)\times(-2,1,1) =(2,0,4)\sim(1,0,2).
Para localizar essa reta notamos que ela passa por Q_{1}\in(R_{1}) e por Q_{2}\in(R_{2}) de modo que \overrightarrow{Q_{1}Q_{2}}\parallel\vec w. Escrevendo
A partir de Q_{1}\) e do vetor diretor \(\vec w=(1,0,2)\), escrevemos as equações paramétricas de \((R)\):
\[(R):\quad \begin{cases} x=6+u,\\\ y=\tfrac52,\\\ z=\tfrac12+2u, \end{cases} \quad u\in\mathbb{R}.
Verifica‐se \vec w\cdot\vec v_{1}=0\] e \(\vec w\cdot\vec v_{2}=0, confirmando a perpendicularidade.
Passo 5
A distância entre (R_{1}) e (R_{2}) é o comprimento do segmento Q_{1}Q_{2}, dado por