Exercício 41 (Reta perpendicular comum) Nos casos seguintes, determinar equações paramétricas para a reta (R) perpendicular comum às retas \left(R_{1}\right) e \left(R_{2}\right). Em seguida, determinar a distância entre as retas \left(R_{1}\right) \mathrm{e}\left(R_{2}\right).
41.1 A reta ( R_{1} ) é dada pela representação paramétrica
\left(R_{1}\right):\left\{\begin{array}{l} x=3+2 t \\\ y=1+t \\\ z=2-t \end{array} \quad(t \in \mathbb{R}) ;\right.
a reta ( R_{2} ) é dada pelo sistema de equações cartesianas
\left(R_{2}\right):\left\{\begin{aligned} 3 x+2 y & +4 z=-8 \\ x+y & +z=0 . \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede, para as retas \,(R_{1}) e \,(R_{2}) em \mathbb{R}^3, (a) a reta (R) que é perpendicular a ambas e (b) a distância entre (R_{1}) e (R_{2}).
Conteúdo: geometria analítica no espaço—retas reversas (skew) e sua reta perpendicular comum, além da fórmula da distância mínima entre retas.

Passo 2

Identificamos em (R_{1})\) um ponto e o vetor diretor, e em \((R_{2})\) fazemos o mesmo: – Em \((R_{1})\): \[P_{1}=(3,1,2),\quad \vec v_{1}=(2,1,-1).
– Em (R_{2}) temos o sistema
\begin{cases} 3x+2y+4z=-8,\\\ x+y+z=0, \end{cases}
cuja interseção é uma reta de direção \vec v_{2}=(3,2,4)\times(1,1,1)=(-2,1,1)\]. Para achar um ponto \[P_{2} em (R_{2}), tomamos z=0, resultando em
\begin{cases} 3x+2y=-8,\\\ x+y=0\implies y=-x, \end{cases}
logo x=-8\], \(y=8. Assim
P_{2}=(-8,8,0),\quad \vec v_{2}=(-2,1,1).

Passo 3

A reta perpendicular comum terá direção paralela a
\vec w = \vec v_{1}\times\vec v_{2} =(2,1,-1)\times(-2,1,1) =(2,0,4)\sim(1,0,2).
Para localizar essa reta notamos que ela passa por Q_{1}\in(R_{1}) e por Q_{2}\in(R_{2}) de modo que \overrightarrow{Q_{1}Q_{2}}\parallel\vec w. Escrevendo
Q_{1}=P_{1}+t\,\vec v_{1},\quad Q_{2}=P_{2}+s\,\vec v_{2},
exigimos
Q_{2}-Q_{1}=(\lambda,0,2\lambda) \quad(\lambda\in\mathbb{R}).
Disso obtém‐se o sistema em s,t,\lambda. A solução é
s=-\tfrac{11}{2},\quad t=\tfrac{3}{2},\quad \lambda=-3.
Logo
Q_{1}=P_{1}+(3/2)\,(2,1,-1)=(6,\tfrac52,\tfrac12), \quad Q_{2}=P_{2}-\tfrac{11}{2}\,(-2,1,1)=(3,\tfrac52,-\tfrac{11}{2}).

Passo 4

A partir de Q_{1}\) e do vetor diretor \(\vec w=(1,0,2)\), escrevemos as equações paramétricas de \((R)\): \[(R):\quad \begin{cases} x=6+u,\\\ y=\tfrac52,\\\ z=\tfrac12+2u, \end{cases} \quad u\in\mathbb{R}.
Verifica‐se \vec w\cdot\vec v_{1}=0\] e \(\vec w\cdot\vec v_{2}=0, confirmando a perpendicularidade.

Passo 5

A distância entre (R_{1}) e (R_{2}) é o comprimento do segmento Q_{1}Q_{2}, dado por
\|Q_{2}-Q_{1}\| =\|(-3,0,-6)\| =\sqrt{(-3)^{2}+0^{2}+(-6)^{2}} =\sqrt{9+36} =3\sqrt{5}.

Resposta

A reta perpendicular comum é
(R):\quad \begin{cases} x=6+u,\\\ y=\tfrac52,\\\ z=\tfrac12+2u, \end{cases} \quad u\in\mathbb{R},
e a distância entre (R_{1}) e (R_{2}) vale 3\sqrt{5}.

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