Exercício 41. Sabendo que
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá a informação
e nos pede para mostrar a identidade
Resumindo em palavras: precisamos obter a série infinita que representa
e ver que esse valor é
. As informações relevantes são a expressão da derivada de
e o objetivo de relacionar isso com a série alternada dos recíprocos dos ímpares.
Passo 2
Vamos lembrar e usar a soma da série geométrica. A fórmula básica é: para qualquer número
com
,
Explicando: isso vem da identidade
; quando
o termo
quando
, e portanto obtemos a soma infinita acima.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula da série geométrica com
. Como precisamos de
, exigimos
, ou seja
. Substituindo
obtemos, para
,
Interpretação didática: a função
tem uma expansão em potências de
válida dentro do intervalo de convergência
; o sinal alterna porque o razão é
.
Passo 4
Vamos integrar termo a termo a série obtida para transformar
numa série para
. Primeiro, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, como
, para
temos
Como
, isto é
Agora, para
podemos integrar a série termo a termo (justificação intuitiva: a série converge uniformemente em qualquer intervalo
com
, então a integração termo a termo é permitida). Integrando
de
a
obtemos
Portanto, para
,
Comentário didático: cada termo vem de
; por isso aparecem os denominadores
.
Passo 5
Queremos a série quando
. Para
a série do lado direito fica
Precisamos garantir que esse valor é de fato igual ao limite de
quando
. Primeiro,
é contínua em
, então
. Em segundo lugar, para cada
temos a igualdade da série com
; passando ao limite
na série de potências, obtemos o valor da série para
porque a série resultante em
é uma série alternada cujos termos em módulo formam uma sequência decrescente que tende a zero (
), então converge (teste de Leibniz). Assim faz sentido identificar o limite da soma das séries pelo limite dos polinômios soma parcial quando
. Conclusão:
Passo 6
Finalmente lembramos que
é o ângulo cujo tangente vale
. Esse ângulo principal é
, porque
. Portanto