Exercício 41. Sabendo que \operatorname{arctg}^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}, mostre que \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots.

Passo 1

O enunciado dá a informação
\operatorname{arctg}'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}
e nos pede para mostrar a identidade
\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots.
Resumindo em palavras: precisamos obter a série infinita que representa \operatorname{arctg}(1) e ver que esse valor é \pi/4. As informações relevantes são a expressão da derivada de \operatorname{arctg} e o objetivo de relacionar isso com a série alternada dos recíprocos dos ímpares.

Passo 2

Vamos lembrar e usar a soma da série geométrica. A fórmula básica é: para qualquer número \,r com |r|<1,
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}.
Explicando: isso vem da identidade 1+r+r^{2}+\dots +r^{N}=\dfrac{1-r^{N+1}}{1-r}; quando |r|<1 o termo r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, e portanto obtemos a soma infinita acima.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da série geométrica com r=-x^{2}. Como precisamos de |r|<1, exigimos |x^{2}|<1, ou seja |x|<1. Substituindo r=-x^{2} obtemos, para |x|<1,
\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} x^{2n}.
Interpretação didática: a função 1/(1+x^{2}) tem uma expansão em potências de x válida dentro do intervalo de convergência -1<x<1; o sinal alterna porque o razão é r=-x^{2}.

Passo 4

Vamos integrar termo a termo a série obtida para transformar \dfrac{1}{1+x^{2}} numa série para \operatorname{arctg}(x). Primeiro, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, como \operatorname{arctg}'(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}, para 0\le x<1 temos
\operatorname{arctg}(x)-\operatorname{arctg}(0)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
Como \operatorname{arctg}(0)=0, isto é
\operatorname{arctg}(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
Agora, para 0\le x<1 podemos integrar a série termo a termo (justificação intuitiva: a série converge uniformemente em qualquer intervalo [0,a] com a<1, então a integração termo a termo é permitida). Integrando \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{2n} de 0 a x obtemos
\operatorname{arctg}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int_{0}^{x} t^{2n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Portanto, para |x|<1,
\operatorname{arctg}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Comentário didático: cada termo vem de \int t^{2n}\,dt=\dfrac{t^{2n+1}}{2n+1}; por isso aparecem os denominadores (2n+1).

Passo 5

Queremos a série quando x=1. Para x=1 a série do lado direito fica
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2n+1} =1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots.
Precisamos garantir que esse valor é de fato igual ao limite de \operatorname{arctg}(x) quando x\to1^{-}. Primeiro, \operatorname{arctg}(x) é contínua em x=1, então \lim_{x\to1^{-}}\operatorname{arctg}(x)=\operatorname{arctg}(1). Em segundo lugar, para cada x\in[0,1) temos a igualdade da série com \operatorname{arctg}(x); passando ao limite x\to1^{-} na série de potências, obtemos o valor da série para x=1 porque a série resultante em x=1 é uma série alternada cujos termos em módulo formam uma sequência decrescente que tende a zero ( \frac{1}{2n+1}\searrow0), então converge (teste de Leibniz). Assim faz sentido identificar o limite da soma das séries pelo limite dos polinômios soma parcial quando x\to1^{-}. Conclusão:
\operatorname{arctg}(1)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2n+1}.

Passo 6

Finalmente lembramos que \operatorname{arctg}(1) é o ângulo cujo tangente vale 1. Esse ângulo principal é \pi/4, porque \tan(\pi/4)=1. Portanto
\frac{\pi}{4}=\operatorname{arctg}(1)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2n+1} =1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots

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