Exercício 46

Apresente aplicações de integrais triplas, com pelo menos um exemplo.

Passo 1

O enunciado pede para apresentarmos aplicações de integrais triplas e darmos pelo menos um exemplo explícito. O conteúdo envolve a definição de integral tripla em um domínio tridimensional V, troca de coordenadas (cartesianas, cilíndricas ou esféricas) e interpretação física do resultado (como volume, massa, centro de massa, momento de inércia, carga elétrica, etc.).

Passo 2

As integrais triplas aparecem em várias situações de engenharia e física. Entre as aplicações mais comuns estão:
Cálculo de volume de um sólido através de
\iiint_{V} dV;
cálculo de massa de um corpo com densidade \rho(x,y,z) por
m = \iiint_{V} \rho(x,y,z)\,dV;
determinação das coordenadas do centro de massa por
\overline{x} = \frac{1}{m}\,\iiint_{V} x\,\rho(x,y,z)\,dV \quad\text{(e análogos para \(\overline{y}\) e \(\overline{z}\))};á
cálculo de momento de inércia
I = \iiint_{V} r^2\,\rho(x,y,z)\,dV,
onde r é a distância ao eixo de rotação; e ainda avaliação de carga elétrica total de uma distribuição volumétrica \rho_{\text{carga}}(x,y,z) via
Q = \iiint_{V} \rho_{\text{carga}}(x,y,z)\,dV.

Passo 3

Vamos ilustrar com o exemplo do cálculo da massa de um hemisfério de raio R (acima do plano xy) cuja densidade varia linearmente com a altura, isto é,
\rho(x,y,z) = \rho_{0}\,z.
O domínio V é dado por
x^2 + y^2 + z^2 \le R^2, \quad z \ge 0.
Para aproveitar a simetria, usamos coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z, \quad 0 \le r \le R,\;0 \le \theta \le 2\pi,\;0 \le z \le \sqrt{R^2 - r^2}.

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é dV = r\,dz\,dr\,d\theta. Logo, a massa é
m = \iiint_{V} \rho_{0}\,z \;dV = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{R} \int_{z=0}^{\sqrt{R^2 - r^2}} \rho_{0}\,z\,r\;dz\,dr\,d\theta.
Compute primeiro em z:
\int_{0}^{\sqrt{R^2 - r^2}} z\,dz = \frac{1}{2}\bigl(R^2 - r^2\bigr).
Então
m = \rho_{0} \int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{R} r\;\frac{1}{2}(R^2 - r^2)\;dr = \rho_{0}\,2\pi \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{R}\bigl(R^2r - r^3\bigr)\,dr.
Calcule
\int_{0}^{R}(R^2r - r^3)\,dr = \left[\tfrac{R^2r^2}{2} - \tfrac{r^4}{4}\right]_{0}^{R} = \frac{R^4}{2} - \frac{R^4}{4} = \frac{R^4}{4}.
Logo
m = \rho_{0}\,\pi \;\frac{R^4}{4} = \frac{\rho_{0}\,\pi\,R^4}{4}.

Passo 5

Interpretamos o resultado como a massa total do hemisfério sob a densidade \rho_{0}z. O procedimento exemplifica como se formula a integral tripla em um domínio tridimensional e se realiza troca de coordenadas para aproveitar a simetria.

Resposta

As principais aplicações de integrais triplas incluem cálculo de volume, massa com densidade variável, centro de massa, momento de inércia e carga elétrica total de distribuições volumétricas.
Como exemplo, a massa de um hemisfério de raio R com densidade \rho(x,y,z)=\rho_{0}z é
m = \frac{\rho_{0}\,\pi\,R^4}{4}.

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