Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\quad \int\left(x+\frac{1}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar as primitivas de
\int\Bigl(x+\frac{1}{x}\Bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é a integração de soma de funções, usando a linearidade da integral e as regras de potência e do logaritmo.

Passo 2

Pela linearidade da integral, escrevemos
\int\Bigl(x+\frac{1}{x}\Bigr)\,dx =\int x\,dx+\int\frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Para o primeiro termo, usamos a regra de potência \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C com n=1. Logo,
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 4

Para o segundo termo, lembramos que
\int\frac{1}{x}\,dx = \ln\bigl|x\bigr|.

Passo 5

Somando as duas primitivas e introduzindo a constante geral C, obtemos
F(x)=\frac{x^2}{2}+\ln\bigl|x\bigr|+C.

Resposta

F(x)=\frac{x^2}{2}+\ln\bigl|x\bigr|+C.

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