Exercício 4.47 Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais (se houverem) das seguintes funções. Justifique.
\mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), dada por \(\mathrm{f}(x)= \begin{cases}\sqrt{x}, & \text { se } x \geqslant 0 \\\ \sqrt{-x} & \text { se } x<0\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede os extremos globais da função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)= \begin{cases} \sqrt{x},&x\ge0,\\\ \sqrt{-x},&x<0. \end{cases}
Estamos no conteúdo de extremos de funções reais: queremos ver onde f atinge valor mínimo ou máximo em todo o domínio.

Passo 2

Note que para todo x\in\mathbb{R} vale
f(x)=\sqrt{|x|}\ge0,
pois a raiz quadrada é sempre não negativa. Além disso,
f(0)=\sqrt{|0|}=0.
Logo, f(x)\ge f(0)=0 para todo x, o que mostra que x=0 é ponto de mínimo global e o valor mínimo global é f(0)=0.

Passo 3

Para investigar máximo global, analisamos o comportamento de f quando |x|\to+\infty. Como
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\sqrt{|x|} =+\infty,
a função cresce sem limite para x\to+\infty e para x\to-\infty. Portanto não existe valor máximo que f atinja em todo o domínio.

Resposta

O único extremo global é
mínimo global em x=0, com valor f(0)=0.
Não há máximo global.

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