Exercício 54 : Um terreno retangular tem área dada por A(x)=x^{2}+6 x+8. Determine as dimensões possíveis do terreno.

Passo 1

O enunciado diz que um terreno retangular tem área dada por
A(x)=x^{2}+6x+8.
Precisamos usar fatoração de polinômio quadrático e a interpretação geométrica da área (produto das dimensões) para encontrar as medidas dos lados em função de x.

Passo 2

Para fatorar A(x)=x^{2}+6x+8, buscamos dois números cujo produto seja 8 e cuja soma seja 6. Esses números são 2 e 4. Logo,
A(x)=x^{2}+6x+8=(x+2)(x+4).

Passo 3

Interpretando geometricamente, como a área de um retângulo é o produto da largura pela altura, os dois fatores obtidos correspondem às dimensões do terreno. Assim, as medidas dos lados são
\,x+2 e x+4.
Para que ambos os lados sejam positivos, exigimos
x+2>0\quad\text{e}\quad x+4>0,
o que dá x>-2. Em geral, como x representa grandeza física, costuma-se tomar x>0.

Resposta

As dimensões do terreno são x+2 metros por x+4 metros (com x>-2, e normalmente x>0).

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