Exercício 57.
\operatorname{Se} f(x)=1 / x, obtenha uma fórmula para f^{(n)}(x), onde n é um inteiro positivo. Quanto é f^{(n)}(1) ?

Passo 1

O enunciado apresenta a função f\colon\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R} definida por f(x)=1/x. Pede-se uma expressão geral para a derivada de ordem n e seu valor em x=1. O conteúdo que vamos usar é a regra da derivada de potências.

Passo 2

Escrevemos f(x)=x^{-1} e lembramos que, para todo inteiro m,
\frac{d^n}{dx^n}x^m = m\,(m-1)\,(m-2)\cdots(m-n+1)\;x^{m-n}.

Passo 3

Aplicando essa fórmula com m=-1, obtemos
f^{(n)}(x) = (-1)\,(-2)\,\cdots(-n)\;x^{-1-n}.

Passo 4

Note que
(-1)\,(-2)\,\cdots(-n)=(-1)^n\,(1\cdot2\cdots n)=(-1)^n\,n!.
Logo
f^{(n)}(x)=(-1)^n\,n!\;x^{-n-1}.

Passo 5

Bast a substituir x=1:
f^{(n)}(1)=(-1)^n\,n!\;\cdot1^{-n-1}=(-1)^n\,n!.

Resposta

f^{(n)}(x)=(-1)^n\,n!\;x^{-n-1},
f^{(n)}(1)=(-1)^n\,n!.

Exercícios relacionados