Exercício 60. Sejam
os subespaços de
dados por
Mosque que
. A suma é direta?
Passo 1
O enunciado define os subespaços de
e pede para mostrar que
e determinar se essa soma é direta. Vamos usar decomposição de um vetor genérico em
e depois verificar a interseção
.
Passo 2
Seja
um vetor arbitrário de
. Queremos escrevê-lo como
com
e
. Em
temos vetores da forma
(para algum
), pois o segundo componente pode ser livre e o primeiro e terceiro iguais. Em
temos vetores cujos componentes somam zero.
Passo 3
Escolhemos
A soma dá
Para garantir
basta satisfazer
Logo existe decomposição para todo
. Assim
.
Passo 4
Para ver se a soma é direta, calculamos
Usando
na segunda condição obtemos
Logo
que é uma reta não trivial.
Resposta
A soma
é válida, mas não é direta, pois