Exercício 60. Sejam U_{1}, U_{2} os subespaços de \mathbb{R}^{3} dados por
U_{1}=\{(a, b, c) \mid a=c\}, \quad U_{2}=\{(a, b, c) \mid a+b+c=0\}
Mosque que \mathbb{R}^{3}=U_{1}+U_{2}. A suma é direta?

Passo 1

O enunciado define os subespaços de \mathbb{R}^3
U_{1}=\{(a,b,c)\mid a=c\}, \quad U_{2}=\{(a,b,c)\mid a+b+c=0\}
e pede para mostrar que \mathbb{R}^3=U_1+U_2 e determinar se essa soma é direta. Vamos usar decomposição de um vetor genérico em \mathbb{R}^3 e depois verificar a interseção U_1\cap U_2.

Passo 2

Seja (x,y,z) um vetor arbitrário de \mathbb{R}^3. Queremos escrevê-lo como
(x,y,z) = u_1 + u_2,
com u_1\in U_1 e u_2\in U_2. Em U_1 temos vetores da forma (t,y,t) (para algum t\in\mathbb{R}), pois o segundo componente pode ser livre e o primeiro e terceiro iguais. Em U_2 temos vetores cujos componentes somam zero.

Passo 3

Escolhemos
u_1=\bigl(t,y,t\bigr) \quad\text{e}\quad u_2=(\,x-t,\,0,\,z-t\,).
A soma dá
u_1+u_2 = \bigl(t+(x-t),\,y+0,\,t+(z-t)\bigr) = (x,y,z).
Para garantir u_2\in U_2 basta satisfazer
(x-t)+0+(z-t)=0 \;\Longrightarrow\; x+z-2t=0 \;\Longrightarrow\; t=\frac{x+z}{2}.
Logo existe decomposição para todo (x,y,z). Assim \mathbb{R}^3=U_1+U_2.

Passo 4

Para ver se a soma é direta, calculamos
U_1\cap U_2 =\{(a,b,c)\mid a=c,\;a+b+c=0\}.
Usando c=a na segunda condição obtemos
a+b+a=0 \;\Longrightarrow\; b=-2a.
Logo
U_1\cap U_2 =\{(a,-2a,a)\mid a\in\mathbb{R}\},
que é uma reta não trivial.

Resposta

A soma \mathbb{R}^3=U_1+U_2 é válida, mas não é direta, pois
U_1\cap U_2=\{(a,-2a,a)\mid a\in\mathbb{R}\}\neq\{(0,0,0)\}.

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